Schnittgerade zweier Ebenen E1: 3x+4y+5z=15 und E2: 6x+8y+5z=30 bestimmen

Question

Wie komme ich auf die Schnittgerade folgender ebenen

E1: 3x+4y+5z=15
E2: 6x+8y+5z=30

komme nicht weiter...

3x+4y=15

x+4/3y=15

x=t

t+4/3y=15

y=15/4-3/4t

und daraus folgt

5z=0

....

das problem ist aber dass der punkt (0;0;3) aber dieser geraden liegen solle ...und das wäre bei meiner geraden nicht der fall

Answer 1

Achtung: Meine Lösung ist unten. Hier nur der Kommentar zu deiner Vorgehensweise.

3x+4y+5z=15
6x+8y+5z=30

komme nicht weiter...


3x+4y=15

x+4/3y=15

x=t

t+4/3y=15

y=15/4-3/4t

und daraus folgt

5z=0 bist du sicher?

Könnte sein, dass x=0 ist. 

Daher Versuch mit t=y

3x+4t=15

3x = 15-4t

x = 5 - 4/3 t

3x+4y+5z=15

15-4t + 4t + 5z = 15

-----> 5z = 0.

Folglich muss auch y = 0 sein.

Das ergäbe: g: r = (0,0,3) + t(0,0,1)      Stimmt nicht.

Kontrollmöglichkeit: Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren berechnen.

Fazit aus anderem Lösungsweg:

z=0 gilt für den Richtungsvektor, nicht für den Stützpunkt der Geraden.

Comments

Ich mache das mal so, wie ich das normalerweise machen würde.

1. Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren:

(3,4,5) x (6,8,5) = (20-40, - (15-30), 0) = (-20, 15, 0)

Richtungsvektor von g ist (-4,3,0).

Nun noch einen Punkt auf g bestimmen. Für x=y=0 ergibt sich zufällig z=3. Achtung: Stimmt so nicht vgl. weitere Kommentare.

Daher g: r=(0,0,3) + t(-4,3,0)           ist einfach eine Parallele zur Schnittgeraden

---

Nun noch einen Punkt auf g bestimmen. Für x=y=0 ergibt sich zufällig z=3.

Mir fällt gerade auf, dass das verkehrt ist.

3x + 4y + 5z = 15
6x + 8y + 5z = 30

Aber man sieht, dass für y=z=0 x=5 gilt.

---

Nun noch einen Punkt auf g bestimmen. Für x=y=0 ergibt sich zufällig z=3.

@Mathecoach: Danke für die Berichtigung. Vielleicht war die Parallele zur Schittgeraden durch (0|0|3) gemeint.

Mit einem Punkt, das tatsächlich auch der Schnittgeraden liegt: Wäre dann 

g: r = (5,0,0) + t(-4,3,0)

Answer 2

x=t

y=15/4 - 3/4t

z=0

x  =      0               +         1t

y  =      3,75          -    0,75t

z  =      0               +         0t

            Stützvektor   Richtungsvektor

g: (x,y,z) = (0 ; 3,75 ; 0) + t×(1 ; -0,75 ; 0)