Punkte bei Funktionsscharen bestimmen

Question

Aufgabe:

b) (1) Zeigen Sie: \( f_{a}{ }^{\prime}(x)=2 a e^{a \cdot x} \cdot(1+a x) \).
Ohne Nachweis können Sie im Folgenden verwenden:
Für die zweite Ableitung von \( f_{a} \) gilt: \( f_{a}{ }^{\prime \prime}(x)=2 a^{2} \cdot e^{a \cdot x} \cdot(2+a x) \).
(2) Ermitteln Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von \( f_{a} \) in Abhängigkeit von a und die Art der Extremstellen.
(3) Es gibt zwei Zahlen \( s \) und \( t, s, t \in \mathbb{R} \), die sich um 1 unterscheiden, und für die gilt: Der Graph der Funktion \( f_{0,5} \) hat in den Punkten \( \left(s \mid f_{0,5}(s)\right) \) und \( \left(t \mid f_{0,5}(t)\right) \) die gleiche Steigung.
Bestimmen Sie s und t auf zwei Nachkommastellen gerundet und geben Sie die Steigung des Graphen von \( f_{0,5} \) an diesen Stellen an.

Problem/Ansatz:

Hey, ich verstehe die Aufgabe (3) nicht...

Kann mir jemand erklären wie man die lösen muss?

Vielen Dank schonmal,

Matheo

Answer 1

f_0,5(x) =(1/4) * (x+4) *e^(x/2)  und f_0,5  ' (x)=(x+6)/8 * e^(x/2)

s=t+1 also f ' (t) = f ' (t+1)

gibt (t+6)/8 * e^(t/2) = (t+7)/8 * e^((t+1)/2)

==> (t+6)/8 * e^(t/2) = (t+7)/8 * e^(t/2+1/2)

==> (t+6)/8 * e^(t/2) = (t+7)/8 * e^(t/2)*e^(1/2)  | : e^(t/2)

==> (t+6)/8 = (t+7)/8 *e^(1/2) ≈ (t+7)/8 * 1,65

==> t≈ -8,5