Wo liegt der Fehler in der Berechnung dieses Integrals?

Question

Folgendes Integral soll berechnet werden.

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x \)

Dazu habe ich das Prinzip der Substitution verwendet:

1. Substitutionsfunktion wählen: z(x) = x²-1

2. Bildung von dz/dx: dz/dx = 2x   <=> dx = dz/2x

3. Einsetzen von z und dx in das ursprüngliche Integral:

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} \frac{d z}{2 x} \)

4. Integrieren:

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} \frac{d z}{2 x}=\frac{1}{2 x} \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} d z=\frac{1}{2 x} \cdot 2 \sqrt{z}=\frac{\sqrt{z}}{x} \)

, wobei die gebildete Stammfunktion in den Grenzen von 1 bis 2 genommen wird.

5. Rücksubstitution:

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\sqrt{z}}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}=\frac{\sqrt{2^{2}-1}}{2}-\frac{\sqrt{1^{2}-1}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Das Ergebnis ist falsch und ich weiß nicht warum. Eigentlich sollte ~1,31 anstatt von (√3)/2 rauskommen. Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Du darfst bei der Substitution nicht einfach ein x stehen lassen und diese Unbekannte dann auch nicht wie einen konstanten Faktor vor das Integral ziehen.

Comments

Meinst du also, dass sich in dem Integral, das integriert wird, kein x mehr befinden darf? Sich das x also vorher rauskürzen sollte.
Wie hätte ich dann vorgehen sollen? Hätte ich eine andere Substitutionsfunktion wählen sollen?

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Meiner Meinung nach darf das obige Integral als bekannt vorausgesetzt werden (bzw. nachgeschaut werden).

Das Integral ergibt \(arcosh(x)\). Dann nur noch Grenzen einsetzen ;).

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Man darf eventuell wissen das das eine Grundstammfunktion ist

f(x) = ARCCOSH(x)

f'(x) = 1/√(x^2 - 1)

Daher ist die Stammfunktion hier der ARCCOSH.

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Ok, es kann aber passieren, dass man da nicht sofort drauf kommt oder das sieht.
Zurück zu meiner Frage: Kann man das Integral nur dann berechnen, wenn kein x mehr im Integral vorkommt? Hätte es also mit einer anderen Substitutionsfunktion, bei der sich das x rauskürzt, geklappt?

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Ja. den x ist und bleibt ja eine unbekannte. du kannst natürlich das x auch wieder durch z ersetzen. aber das gibt hier einen etwas umständlichen ausdrück.

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Mit ARCCOSH ist wohl die Umkehrfunktion des Kosinus hyperbolicus gemeint. Das ist keine Arcus-Funktion, sondern eine Area-Funktion. Besser ist \(f(x)=\operatorname{arcosh}x\).

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Danke für die Korrektur. Ja es heißt ARCOSH(X).