Ich zitiere hier zunächst einen Satz aus Jean-Pierre Serre: Local Fields:
Sei \(R\) ein noetherscher Integritätsbereich. Dann sind die beiden folgenden
Eigenschaften äquivalent:
(i) Für jedes Primideal \(\mathfrak{p}\neq 0\) von \(R\) ist \(R_{\mathfrak{p}}\)
ein diskreter Bewertungsring.
(ii) \(R\) ist ganz abgeschlossen und hat Dimension \(\leq 1\).
Ein noetherscher Integritätsbereich, der (i) und / oder (ii) erfüllt,
heißt "Dedekind-Ring".
Wenn daher \(R\) ein lokaler Dedekind-Ring ist mit einzigem
maximalen Ideal \(\mathfrak{m}\) , muss gemäß (i) \(R_{\mathfrak{m}}\)
ein diskreter Bewertungsring sein. Nun ist aber in diesem Falle
\(R_{\mathfrak{m}}=R\quad \), da ja \(\quad R^*=R\; \backslash \mathfrak{m}\) ist.
