Lokaler Dedekindring ist ein diskreter Bewertungsring

Question

Wie kann ich zeigen, dass ein lokaler Dedekindring ein diskreter Bewertungsring ist

Lokaler dedekindring R dann ist

1) R ist ein Hauptidealring

2)  R ist ein diskreter Bewertungsring

Leider komme ich nicht wirklich weiter :(

Danke für eure Hinweise

Answer 1

Ich zitiere hier zunächst einen Satz aus Jean-Pierre Serre: Local Fields:

Sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Dann sind die beiden folgenden

Eigenschaften äquivalent:

(i) Für jedes Primideal $\mathfrak{p}\neq 0$ von $R$ ist $R_{\mathfrak{p}}$

ein diskreter Bewertungsring.

(ii) $R$ ist ganz abgeschlossen und hat Dimension $\leq 1$.

Ein noetherscher Integritätsbereich, der (i) und / oder (ii) erfüllt,

heißt "Dedekind-Ring".

Wenn daher $R$ ein lokaler Dedekind-Ring ist mit einzigem

maximalen Ideal $\mathfrak{m}$ , muss gemäß (i) $R_{\mathfrak{m}}$

ein diskreter Bewertungsring sein. Nun ist aber in diesem Falle

$R_{\mathfrak{m}}=R\quad$, da ja $\quad R^*=R\; \backslash \mathfrak{m}$ ist.

Comments

Danke für deine Hilfe :)

Ich werde mir das nochmal genauer anschauen