Aufgabe:
Die Herdtellungskosten eines Artikels können mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Das Unternehmen produziert bei 2 und 12 Mengenheinheitem kostendeckend. Die Fixekosten betragen 120 Euro. Der Verkaufspreis beträgt 90 Euro auf dem Markt. Ermitteln sie die Gewinnfunktion.
Problem/Ansatz:
Also ich weiß wie man die Gewinnfunktion eigentlich ermittelt und zwar G(x)=E(x)-K(x). Mein Problem ist das ich die Kostenfunktion nicht bestimmen kann.
Die Kostenfunktion ist K(x) = ax2 + bx + 120
"Kostendeckend" bedeutet E(x) = K(x)
Löse das Gleichungssystem
\( 90 \cdot 2=a \cdot 2^{2}+b \cdot 2+120 \)
\( 90 \cdot12=a \cdot 12^{2}+b \cdot 12+120 \)
G(x) = E(x)-K(x) = 90x -K(x)
K(x) = ax^2+bx+120
K(2) = E(2)
K(12) = E(12)
1.4a+2b+120 = 180
2.144a+12b+120 = 1080
6*1. - 2.:
24a +12b+720 = 1080
144a+12b+120 = 1080
subtrahíeren:
-120a +600 = 0
a= 5
einsetzen:
4*5+2b+120 = 180
b= 20
G(x)= 90x - (5x^2+20x+120) = -5x^2 +70x-120
Mit \(p=120\) als Stückpreis und \(k(x)=\dfrac{K(x)}{x}\) als Stückkostenfunktion lässt sich die Gewinnfunktion auch so darstellen: $$G(x)=\left(p-k(x)\right)\cdot x$$ Für \(k(x)\) gilt dann $$k(x)=ax+b+\dfrac{120}{x}$$ "Kostendeckend" bedeutet jetzt $$ \phantom{1}k(2)=90 \quad\Rightarrow\quad \phantom{1}2a+b+60=90\\ k(12)=90 \quad\Rightarrow\quad 12a+b+10=90 $$ Damit folgt leicht \(a=5\) und \(b=10\), also lautet die Gewinnfunktion $$G(x) = \left(90-\left(5x+20+\dfrac{120}{x}\right)\right)\cdot x\\ \phantom{G(x)}=-5x^2+70x-120.$$ Dieser Weg ist offenbar einfacher als der über die Gesamtkostenfunktion.
Dieser Weg ist offenbar einfacher ...
Ja und deshalb ist auch die Fehlerwahrscheinlichkeit geringer. ;-)
Nun Enano, ich weiß nun nicht genau was du damit sagen wolltest, aber es muss natürlich \(b=20\) statt \(b=10\) heißen, so, wie es auf meinem Zettel steht und wie es auch in der drittletzten Zeile eingesetzt wurde.
