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Aufgabe:

Die Herdtellungskosten eines Artikels können mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Das Unternehmen produziert bei 2 und 12 Mengenheinheitem kostendeckend. Die Fixekosten betragen 120 Euro. Der Verkaufspreis beträgt 90 Euro auf dem Markt. Ermitteln sie die Gewinnfunktion.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß wie man die Gewinnfunktion eigentlich ermittelt und zwar G(x)=E(x)-K(x). Mein Problem ist das ich die Kostenfunktion nicht bestimmen kann.

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Die Kostenfunktion ist K(x) = ax2 + bx + 120

"Kostendeckend" bedeutet E(x) = K(x)

Löse das Gleichungssystem

902=a22+b2+120 90 \cdot 2=a \cdot 2^{2}+b \cdot 2+120

9012=a122+b12+120 90 \cdot12=a \cdot 12^{2}+b \cdot 12+120


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G(x) = E(x)-K(x) = 90x -K(x)

K(x) = ax2+bx+120

K(2) = E(2)

K(12) = E(12)

1.4a+2b+120 = 180

2.144a+12b+120 = 1080

6*1. - 2.:

24a +12b+720 = 1080

144a+12b+120  = 1080

subtrahíeren:

-120a +600 = 0

a= 5

einsetzen:

4*5+2b+120 = 180

b= 20

G(x)= 90x - (5x2+20x+120) = -5x2 +70x-120

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Mit p=120p=120 als Stückpreis und k(x)=K(x)xk(x)=\dfrac{K(x)}{x} als Stückkostenfunktion lässt sich die Gewinnfunktion auch so darstellen: G(x)=(pk(x))xG(x)=\left(p-k(x)\right)\cdot x Für k(x)k(x) gilt dann k(x)=ax+b+120xk(x)=ax+b+\dfrac{120}{x} "Kostendeckend" bedeutet jetzt 1k(2)=9012a+b+60=90k(12)=9012a+b+10=90 \phantom{1}k(2)=90 \quad\Rightarrow\quad \phantom{1}2a+b+60=90\\ k(12)=90 \quad\Rightarrow\quad 12a+b+10=90 Damit folgt leicht a=5a=5 und b=10b=10, also lautet die Gewinnfunktion G(x)=(90(5x+20+120x))xG(x)=5x2+70x120.G(x) = \left(90-\left(5x+20+\dfrac{120}{x}\right)\right)\cdot x\\ \phantom{G(x)}=-5x^2+70x-120. Dieser Weg ist offenbar einfacher als der über die Gesamtkostenfunktion.

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Dieser Weg ist offenbar einfacher ...

Ja und deshalb ist auch die Fehlerwahrscheinlichkeit geringer. ;-)

Nun Enano, ich weiß nun nicht genau was du damit sagen wolltest, aber es muss natürlich b=20b=20 statt b=10b=10 heißen, so, wie es auf meinem Zettel steht und wie es auch in der drittletzten Zeile eingesetzt wurde.

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