Aufgabe:
Die Herdtellungskosten eines Artikels können mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Das Unternehmen produziert bei 2 und 12 Mengenheinheitem kostendeckend. Die Fixekosten betragen 120 Euro. Der Verkaufspreis beträgt 90 Euro auf dem Markt. Ermitteln sie die Gewinnfunktion.
Problem/Ansatz:
Also ich weiß wie man die Gewinnfunktion eigentlich ermittelt und zwar G(x)=E(x)-K(x). Mein Problem ist das ich die Kostenfunktion nicht bestimmen kann.
Die Kostenfunktion ist K(x) = ax2 + bx + 120
"Kostendeckend" bedeutet E(x) = K(x)
Löse das Gleichungssystem
90⋅2=a⋅22+b⋅2+120 90 \cdot 2=a \cdot 2^{2}+b \cdot 2+120 90⋅2=a⋅22+b⋅2+120
90⋅12=a⋅122+b⋅12+120 90 \cdot12=a \cdot 12^{2}+b \cdot 12+120 90⋅12=a⋅122+b⋅12+120
G(x) = E(x)-K(x) = 90x -K(x)
K(x) = ax2+bx+120
K(2) = E(2)
K(12) = E(12)
1.4a+2b+120 = 180
2.144a+12b+120 = 1080
6*1. - 2.:
24a +12b+720 = 1080
144a+12b+120 = 1080
subtrahíeren:
-120a +600 = 0
a= 5
einsetzen:
4*5+2b+120 = 180
b= 20
G(x)= 90x - (5x2+20x+120) = -5x2 +70x-120
Mit p=120p=120p=120 als Stückpreis und k(x)=K(x)xk(x)=\dfrac{K(x)}{x}k(x)=xK(x) als Stückkostenfunktion lässt sich die Gewinnfunktion auch so darstellen: G(x)=(p−k(x))⋅xG(x)=\left(p-k(x)\right)\cdot xG(x)=(p−k(x))⋅x Für k(x)k(x)k(x) gilt dann k(x)=ax+b+120xk(x)=ax+b+\dfrac{120}{x}k(x)=ax+b+x120 "Kostendeckend" bedeutet jetzt 1k(2)=90⇒12a+b+60=90k(12)=90⇒12a+b+10=90 \phantom{1}k(2)=90 \quad\Rightarrow\quad \phantom{1}2a+b+60=90\\ k(12)=90 \quad\Rightarrow\quad 12a+b+10=90 1k(2)=90⇒12a+b+60=90k(12)=90⇒12a+b+10=90 Damit folgt leicht a=5a=5a=5 und b=10b=10b=10, also lautet die Gewinnfunktion G(x)=(90−(5x+20+120x))⋅xG(x)=−5x2+70x−120.G(x) = \left(90-\left(5x+20+\dfrac{120}{x}\right)\right)\cdot x\\ \phantom{G(x)}=-5x^2+70x-120.G(x)=(90−(5x+20+x120))⋅xG(x)=−5x2+70x−120. Dieser Weg ist offenbar einfacher als der über die Gesamtkostenfunktion.
Dieser Weg ist offenbar einfacher ...
Ja und deshalb ist auch die Fehlerwahrscheinlichkeit geringer. ;-)
Nun Enano, ich weiß nun nicht genau was du damit sagen wolltest, aber es muss natürlich b=20b=20b=20 statt b=10b=10b=10 heißen, so, wie es auf meinem Zettel steht und wie es auch in der drittletzten Zeile eingesetzt wurde.
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