0 Daumen
296 Aufrufe

Aufgabe:

Die Herdtellungskosten eines Artikels können mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Das Unternehmen produziert bei 2 und 12 Mengenheinheitem kostendeckend. Die Fixekosten betragen 120 Euro. Der Verkaufspreis beträgt 90 Euro auf dem Markt. Ermitteln sie die Gewinnfunktion.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß wie man die Gewinnfunktion eigentlich ermittelt und zwar G(x)=E(x)-K(x). Mein Problem ist das ich die Kostenfunktion nicht bestimmen kann.

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Die Kostenfunktion ist K(x) = ax2 + bx + 120

"Kostendeckend" bedeutet E(x) = K(x)

Löse das Gleichungssystem

\( 90 \cdot 2=a \cdot 2^{2}+b \cdot 2+120 \)

\( 90 \cdot12=a \cdot 12^{2}+b \cdot 12+120 \)


blob.png

Avatar von 43 k
0 Daumen

G(x) = E(x)-K(x) = 90x -K(x)

K(x) = ax^2+bx+120

K(2) = E(2)

K(12) = E(12)

1.4a+2b+120 = 180

2.144a+12b+120 = 1080

6*1. - 2.:

24a +12b+720 = 1080

144a+12b+120  = 1080

subtrahíeren:

-120a +600 = 0

a= 5

einsetzen:

4*5+2b+120 = 180

b= 20

G(x)= 90x - (5x^2+20x+120) = -5x^2 +70x-120

Avatar von 81 k 🚀
0 Daumen

Mit \(p=120\) als Stückpreis und \(k(x)=\dfrac{K(x)}{x}\) als Stückkostenfunktion lässt sich die Gewinnfunktion auch so darstellen: $$G(x)=\left(p-k(x)\right)\cdot x$$ Für \(k(x)\) gilt dann $$k(x)=ax+b+\dfrac{120}{x}$$ "Kostendeckend" bedeutet jetzt $$ \phantom{1}k(2)=90 \quad\Rightarrow\quad \phantom{1}2a+b+60=90\\ k(12)=90 \quad\Rightarrow\quad 12a+b+10=90 $$ Damit folgt leicht \(a=5\) und \(b=10\), also lautet die Gewinnfunktion $$G(x) = \left(90-\left(5x+20+\dfrac{120}{x}\right)\right)\cdot x\\ \phantom{G(x)}=-5x^2+70x-120.$$ Dieser Weg ist offenbar einfacher als der über die Gesamtkostenfunktion.

Avatar von 26 k
Dieser Weg ist offenbar einfacher ...

Ja und deshalb ist auch die Fehlerwahrscheinlichkeit geringer. ;-)

Nun Enano, ich weiß nun nicht genau was du damit sagen wolltest, aber es muss natürlich \(b=20\) statt \(b=10\) heißen, so, wie es auf meinem Zettel steht und wie es auch in der drittletzten Zeile eingesetzt wurde.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community