Punkte Pt(3+2t|5t|-2-4t), t reelle Zahl. Parametergleichung der Geraden?

Question

a) Für jede reelle Zahl \( t \) ist ein Punkt \( P_t \) gegeben durch \( P_{t}(3+2 t|5 t|-2-4 t) \).
Zeigen Sie, dass alle Punkte \( P_{t} \) auf einer Geraden liegen, und geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Geraden an.

b) Untersuchen Sie, ob die Punkte \( A_{t} \) mit \( A_{t}\left(2 t-3|4-2 t| t^{2}\right) \) für alle reellen Werte von \( t \) auf einer Geraden liegen.

Ich dachte, man braucht erstmal einen Stützvektor und einen Richtungsvektor, um ein einheitliches k bestimmen zu können?

Answer 1

Hallo Engel,

a)

P₀ = (3|0|-2)

P₁ = (5|5|-6)

Wir können als Stützvektor P₀ nehmen und als Richtungsvektor P₁ - P₀

G : x = (3|0|-2) + r * (2|5|-4)

Zu zeigen: Alle Punkte P_t = (3 + 2t | 5t | -2 - 4t) liegen auf x

3 + 2r = 3 + 2t | r = t

0 + 5r = 5t | r = t

-2 - 4r = -2 - 4t | r = t

Somit lässt sich jeder Punkt P_t auf G darstellen als

(3|0|-2) + t * (2|5|-4)

b)

Das wird wohl wegen des Quadrats nicht der Fall sein.

A₀ = (-3|4|0)

A₁ = (-1|2|1)

G : x = (-3|4|0) + r * (2|-2|1)

A_t (2t - 3 | 4 - 2t | t²)

-3 + 2r = 2t - 3

4 - 2r = 4 - 2t | r = t

r = t²

Da man für einen Punkt keine zwei verschiedenen r in die Gleichung einsetzen kann, liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

Ich kann natürlich beim Aufstellen der Geradengleichungen jeden reellen Wert für t nehmen; ich habe t = 0 genommen, um möglichst kleine Zahlen zu erhalten - genau so gut hätte ich auch zum Beispiel t = 7 oder t = 520 nehmen können :-)

Besten Gruß