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Aufgabe:

Hallo, ich habe folgende Metrik auf \(X= \mathbb{R}^2 \) mit der eukld. Norm ||-|| gegeben:

$$d:X \times X \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} ||x-y|| & \text{,falls ein a existiert, sodass: } x=ay \text{ oder } y=ax\\ ||x||+||y|| & \, \textrm{,sonst} \\ \end{array} \right. $$

Ich soll die dazugehörigen, offenen Kugeln \(B_r(x)= \{x \in R^2|d(x_0,x)<r \} \) für r=1, \( x_0=(0,0) \) und (1,0) skizzieren


Problem/Ansatz:

Ich habe 2 Probleme:

1. Wie mache ich das mit der Fallunterscheidung? Kann ich da vorher einfach sagen 1. Fall so und so und der 2. Fall halt in den übrigen Fällen, oder muss ich da noch irgendwas beachten?

2. Ich habe ja z.B. \( x_0=(0,0) \) gegeben, d.h. ich müsste den Ausdruck \(d((0,0),(x,y)=1) \) nach y umstellen, um da an den Term für die Kugel zu kommen, aber wie soll ich denn das Paar (x,y) in meinen oberen Ausdruck einsetzen? Hier hab ich ja ein Vekor und oben stehen ja einfach nur die Variablen. Idk da bin ich gerade ein wenig überfragt, könnte mir da ggf. jemand weiterhelfen?

LG Hakn

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Ist für a keine Einschränkung gegeben also stammt es aus ganz R?

Keine Einschränkung, \(a \in \mathbb{R} \), sorry für die Ungenauigkeit

Habe leider immernoch keine Lösung gefunden \(:/ \)

Betrachte mal den Ball mit Mittelpunkt O:=(0,0)

Wenn du jetzt einen Punkt P:=(x,y) ungleich (0,0) betrachest, bilden die beiden Punkte eine Ursprungsgerade, der Abstand zwischen den Punkten berechnet sich also immer nach dem ersten Fall:

$$ d(O,P) = || (x,y) - (0,0) || = \sqrt{x^2 + y^2} < r = 1 $$

der Ball einfach nur eine offene Kreisscheibe mit Radius 1.

Jetzt O:=(1,0)

Für alle Punkte P:=(x,0) auf der x-Achse leigen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden und wir haben den Fall 1.

$$ d(O,P) = || (x,0) - (1,0) || = |x-1| < r = 1 $$

Also liegen alle Punkte P mit |x-1| < 1 im Ball drin

Für übrige Punkte Q:=(x,y) mit y≠0 liegen O und Q nicht mehr auf einer Ursprungsgerade hier ist dann der zweite Fall anzuwenden

$$ d(O,Q) = || (x,y) || +|| (1,0) || = \sqrt{x^2+y^2} + |1| < r = 1 $$

Somit liegen nur Punkte Q im Ball für die \( 0 < |y| \le \sqrt{x^2+y^2} < 0 \) gilt. Das ist nie erfüllt. Der offene Ball besteht hier deshalb nur aus den Punkten P.

Wenn du das ganze mal mit r = 1.5 betrachtest sieht das so aus:

Punkte P=(x,0) liegen drin falls |x-1| < 1.5

Punkte Q=(x,y) legen drin falls \( \sqrt{x^2+y^2} < 0.5 \)

blob.png

Das ist also so ein offener Ball mit Stiel dran.

Vielen Dank für diese tolle Erklärung, das hat mir im Verstädnis sehr gut weitergeholfen :D

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