Berechnen Sie das Spektrum sowie die entsprechenden Eigenräume folgender Matrizen aus Mat2×2(C), Mat3×3(C) bzw …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Spektrum sowie die entsprechenden Eigenräume folgender Matrizen aus Mat2×2(C), Mat3×3(C) bzw. Mat4×4(C):

(1) \( \begin{pmatrix} cosϕ & -sinϕ \\ sinϕ & cosϕ \end{pmatrix} \) mit ϕ∈ℝ beliebig

(2) \( \begin{pmatrix} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 9 \end{pmatrix} \)

(3) \( \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 5 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier nicht was ich machen soll und wie ich vorgehen soll.

Answer 1

- Spektrum ist die Menge aller Eigenwerte, also bestimme die Eigenwerte der einzelnen Matrizen

- Der Eigenraum besteht aus den Eigenvektoren des zugehörigen Eigenwertes. Sagen wir einmal, wir haben den Eigenwert \(\lambda_1 = 1 \) und den Eigenvektor \( (1,2)^T\). Dann ist der Eigenraum zu diesem Eigenvektor z.B. \(E_A(\lambda_1 = 1) = \left\{c \cdot (1, 2)^T \,| c \in \mathbb{R}\right\}\)

Comments

Der Eigenraum besteht aus den Eigenvektoren multipliziert mit dem zugehörigen Eigenwert

Neue Definition?

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Das war falsch ausgedrückt ;)

Danke fürs Aufpassen @Arsinoë4. Ich gebe deinem Kommentar mal ein +1