Verteilungsfuktion, Erwartungswert und Varianz einer Dichtefunktion bestimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Dichtefunktion :

f(x) =  1- x²               für -1<= X <= 0,

          - 3/2 x+1        für < x <= 2/3,

          0                   sonst

a) Geben Sie die durch f(x) definierte Verteilungsfunktion F(x) an.
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.

Problem/Ansatz:

bei Aufgabe "a" muss ich ja die Integration bilden nur ich habe Schwierigkeiten bei der Integration. Und für "b" habe ich gar keinen Ansatz

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Dichtefunktion lautet:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}1-x^2 & \text{für }x\in[-1;0]\\[1ex]-\frac32x+1 & \text{für }x\in\left(0;\frac23\right]\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) erhalten wir durch Integration:$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(x)\,dx$$Für \(x<-1\) ist \(F(x)=0\) und für \(x>\frac23\) ist \(F(x)=1\) klar. Dazwischen unterscheiden wir:

1. Fall: \(-1\le x\le0\)$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\,dt=\int\limits_{-\infty}^{-1}0\,dt+\int\limits_{-1}^x(1-t^2)dt=0+\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^x$$$$\phantom{F(x)}=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)-\left((-1)-\frac{(-1)^3}{3}\right)=x+\frac{2-x^3}{3}$$

2. Fall: \(0<x\le\frac23\)$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\,dt=\int\limits_{-\infty}^{-1}0\,dt+\int\limits_{-1}^0(1-t^2)dt+\int\limits_0^x\left(-\frac32t+1\right)dt$$$$\phantom{F(x)}=0+\left(0+\frac{2-0^3}{3}\right)+\left[-\frac34t^2+t\right]_0^x=\frac23+x-\frac{3x^2}{4}$$

Damit erhalten wir als Verteilungsfunktion:$$F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<-1\\[1ex]x+\frac{2-x^3}{3} & \text{für }x\in[-1;0]\\[1ex]\frac23+x-\frac{3x^2}{4} & \text{für }x\in\left(0;\frac23\right]\\[1ex]1 & \text{für }x>\frac23\end{array}\right.$$

zu b) Zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz bestimmen wir:$$\left<x\right>\coloneqq\int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_{-1}^0(x-x^3)\,dx+\int\limits_{0}^{2/3}\left(-\frac32x^2+x\right)dx$$$$\phantom{\left<x\right>}=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2/3}=-\frac14+\frac{2}{27}=-\frac{19}{108}$$$$\left<x^2\right>\coloneqq\int\limits_{-\infty}^\infty x^2\cdot f(x)\,dx=\int\limits_{-1}^0(x^2-x^4)\,dx+\int\limits_{0}^{2/3}\left(-\frac32x^3+x^2\right)dx$$$$\phantom{\left<x^2\right>}=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^0+\left[-\frac38x^4+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2/3}=\frac{2}{15}+\frac{2}{81}=\frac{64}{405}$$

Damit haben wir Erwartungswert und Varianz:$$\mu=\left<x\right>=-\frac{19}{108}\approx-0,158025$$$$\sigma^2=\left<x^2\right>-\left<x\right>^2=\frac{64}{405}-\left(-\frac{19}{108}\right)^2=\frac{7411}{58\,320}\approx0,127075$$

~plot~ (1-x^2)*(x>=-1)*(x<=0) + (-3/2*x+1)*(x>=0)*(x<=2/3) ; [[-1|1|0|1,1]] ; x=-19/108 ~plot~

Comments

Text erkannt:

zu b) Zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz bestimmen wir:
\( \langle x\rangle:=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) d x=\int \limits_{-1}^{0}\left(x-x^{3}\right) d x+\int \limits_{0}^{2 / 3}\left(-\frac{3}{2} x^{2}+x\right) d x \)

kannst du mir erklären wie du hier die Integrale bildest ? also wie kommst du auf (x-x³) und (-3/2x²+x)

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Du musst das Integral über \((\;x\cdot f(x)\;)\) bilden. Daher habe ich \(x\) mit der Wahrscheinlichkeitsdichte multipliziert.

Für \(-1\le x\le0\):$$x\cdot f(x)=x\cdot(1-x^2)=(x-x^3)$$Für \(0<x\le\frac23\):$$x\cdot f(x)=x\cdot\left(-\frac32x+1\right)=\left(-\frac32x^2+x\right)$$