Zufallsvariable mit der Dichtefunktion - Varianz und Erwartungswert berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

\(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x & \text { für } x \in[0,1] \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)

den Erwartungswert die Varianz

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich die Bernoulliverteilung versucht aber irgentwie mache ich etwas falsch. Bitte um Hilfe bzw. Ansätze

MfG

Answer 1

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) ist

        \(\operatorname{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\).

Varianz einer reellen Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) ist

    \(\operatorname{Var}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty (x-\operatorname{E}(X))^2\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\).

Comments

könnten sie mir vielleicht eine beispiel berechnung dafür geben ? oder vielleicht die aufgabe berechnen?

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\(\begin{aligned} \operatorname{E}(X) & =\int\limits _{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int\limits _{-\infty}^{0}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int\limits _{0}^{1}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int\limits _{1}^{\infty}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int\limits _{-\infty}^{0}x\cdot0\,\mathrm{d}x+\int\limits _{0}^{1}x\cdot2x\,\mathrm{d}x+\int\limits _{1}^{\infty}x\cdot0\,\mathrm{d}x\\ & =0+\int\limits _{0}^{1}x\cdot2x\,\mathrm{d}x+0\\ & =\int\limits _{0}^{1}2x^{2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}\)