Zeigen Sie, dass für Unterräume W1,W2 stets die Gleichungen gelten.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, V ′ der Dualraum zu V . Für einen Unterraum W⊆ V bezeichne Ann(W) ⊆ V′ den Annihilator von W, das heißt, die Menge aller linearen Funktionen f : V → k mit ∀w ∈ W : f(w) = 0. Zeigen Sie, dass für Unterräume W₁,W₂ stets die Gleichungen
Ann(W₁ ∩ W₂) = ⟨Ann(W₁), Ann(W₂)⟩

und

Ann(⟨W₁, W₂⟩) = Ann(W₁) ∩ Ann(W₂)

gelten.