Determinante und inverse Matrix

Question

Aufgabe:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 7 & -1 & 5 \\ -5 & 0 & 2\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 \\ -1 / 2 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 5 / 2 & 0 & -1\end{array}\right) \quad A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ -46 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$

$\operatorname{det}\left(-A^{2} \cdot C^{-1}\right)=?$

Problem/Ansatz:

Comments

Als eine hier sehr ähnliche Aufgabe gestellt wurde war C=-0.5A. Liegt hier evtl. Ein Druckfehler bei C vor?

Answer 1

Aloha :)

Die Determinanten der einzelnen Matrizen kannst du sehr schnell berechnen, weil die erste Zeile stets zwei Nullen enhält. Die Entwicklungen nach der ersten Zeile ergeben:$$\operatorname{det}(A)=-2\cdot(-1)\cdot2=4\quad;\quad\operatorname{det}(C)=1\cdot\frac12\cdot(-1)=-\frac12$$

Da die Matrix $C$ multipliziert mit ihrer Inversen $C^{-1}$ die Einheitsmatrix $\mathbf 1$ ergibt, erhalten wir $\operatorname{det}(C^{-1})$ aus dem Determinanten-Multiplikationssatz wie folgt:$$1=\operatorname{det}(\mathbf 1)=\operatorname{det}(C\cdot C^{-1})=\operatorname{det}(C)\cdot\operatorname{det}(C^{-1})=-\frac12\cdot\operatorname{det}(C^{-1})\implies$$$$\operatorname{det}(C^{-1})=-2$$

Damit haben wir alles, was wir brauchen:$$\operatorname{det}(-A^2C^{-1})=-\operatorname{det}(AAC^{-1})=-\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(C^{-1})=-4\cdot4\cdot(-2)=32$$

Answer 2

Was hältst du davon, die Determinante von A² zu berechnen?

Und die von C?

Und dann das Notwendige zu tun?

Wenn du damit nichts anfangen kannst: Berechne die inverse Matrix von C.

Multipliziere -A² damit.

Bilde die Determinante vom Ergebnis.

Answer 3

$\det\left(-A^{2} \cdot C^{-1}\right)=32$

Comments

@oswald:

$\Huge{Warum ???}$

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Hab ich so von einem Computerprogramm berechnen lassen.

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Der Kommentar hatte einen anderen Hintergrund. Und das weißt du.

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@abakus

Hier ist ein Geheimnis: im Photo, dass vor kurzem noch der Frage beilag, war $c_{2,1}=-\frac{7}{2}$ und jetzt ist $c_{2,1}=-\frac{1}{2}$ und ich werde nicht verraten, welchen der beiden Werte ich für die Berechnung verwendet habe.

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Das Problem ist nicht, ob du diesen oder jenen Wert verwendet hast. Schaust du dir vor den willfährigen Antworten auch mal an, wem du antwortest?

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Manchmal. Manchmal nicht.