Wie kann man bei dieser Aufgabe auf das Ergebnis 1 kommen, wenn für Phi kein Wert gegeben ist?

Question

Aufgabe:

Wie lautet das Ergebnis von $\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right|$

Problem/Ansatz:

Wie kann man bei dieser Aufgabe auf das Ergebnis 1 kommen, wenn für Phi kein Wert gegeben ist?

Comments

:-)

soll wohl bedeuten "Nimm das alles nicht so ernst, was ich schreibe" - dann ist es ja gut.

Answer 1

Aloha :)

Für den Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl gilt $|z|^2=z\cdot z^\ast$, wobei $z^\ast$ der komplex-konjugierte Wert von $z$ ist:$$|e^{i\varphi}|^2=e^{i\varphi}\cdot e^{-i\varphi}=e^{i\varphi-i\varphi}=e^0=1\quad\implies\quad |e^{i\varphi}|=1$$

Alternativ dazu kannst du die Euler-Formel $(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\sin\varphi)$ verwenden:$$|e^{i\varphi}|=|\cos\varphi+i\sin\varphi|=\sqrt{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}=\sqrt{1}=1$$

Comments

Ist es eine Regel, dass die Wurzel aus cos zu Quadrat + sin zum Quadrat = 1 ist? Weil phi kann ja unterschiedliche Werte annehmen oder?

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Ja, diese Regel gilt für alle Winkel $\varphi$:$$\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$$Sie ist auch als "trigonometrischer Pythagoras" bekannt.

Answer 2

Wandle in die Form $a + b\mathrm{i}$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ um.