Mengenlehre A=B wenn A ∩ C = B ∩ C und A ∪ C = B ∪ C ...

Question

Aufgabe:

Seien A, B, C ⊆ G beliebige Mengen.
a) Beweisen Sie, dass A=B
1. wenn A ∩ C = B ∩ C und A ∪ C = B ∪ C
2. wenn A ∆ C = B ∆ C

b) Zeigen Sie ebenso
wenn A ⊆ B und C ⊆ D, dann A ∩ C ⊆ B ∩ D

Problem/Ansatz:
Ich komme hier überhaupt nicht weiter. Bei a)1. verstehe ich wieso A=B ist allerdings ist mir unklar wie man solche Beweise überhaupt angeht. Ich weiß, dass man sich ein x ∈ G nehmen kann und dann z.B. A ∩ C durch x∈A ∧ x∈C ersetzen kann, doch ich weiß nicht wie ich das damit umformen kann, damit dann am Ende A=B raus kommt.
Ich bin ziemlich sicher, dass die Aufgaben relativ einfach sind wenn man weiß wie es funktioniert, leider wurde das im Skript nicht behandelt, da es anscheinend vorausgesetzt wird.

Ich hoffe mir kann jemand erklären wie man an solche Beweise ran geht, da ich das Konzept einfach nicht verstehe. Eine Lösung als Beispiel würde vielleicht auch helfen muss aber nicht sein. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zu a.1)

Es gelte \(A\cap C=B\cap C\) und \(A\cup C=B\cup C\), dann gilt:

\(x\in A\Rightarrow x \in A\cup C=B\cup C\), also

\(x\in B\) oder \(x\in C\). Im ersten Falle haben wir dann bereits

\(x \in A\Rightarrow x \in B\).

Im zweiten Fall \(x \in C\) gilt \(x\in A\cap C=B\cap C\),

also insbesondere \(x\in B\).

Wir haben also gezeigt: \(x\in A\Rightarrow x\in B\),

also \(A\subseteq B\). Analog gilt \(B\subseteq A\), somit \(A=B\).

Ein zweiter Beweis geht nicht über die Elemente, sondern

verwendet die Distributivgesetze bzgl. "\(\cap\)" und "\(\cup\)":

\(A=(A\cup C)\cap A=(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)=\)

\(=(B\cap A)\cup(B\cap C)=B\cap(A\cup C)=B\cap(B\cup C)=B\).