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Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für eine Funktion f : [−1, 1] → R.

(a) f stetig in 0 ⇒ |f| stetig in 0.

(b) |f| stetig in 0 ⇒ f stetig in 0.



Problem/Ansatz:

ich sitze hier mit ein paar Kollegen an einer Aufgabe und wir kommen nicht weiter. Sie lautet wie folgt:

Wir haben uns überlegt die Cosinus dafür zu verwenden, aber wir haben keine Ahnung wie wir das beweisen sollen. Kann jemand weiterhelfen?

LG

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Beweisen von stetigen Funktionen

Du möchtest wahrscheinlich nicht Funktionen beweisen, sondern die beiden Aussagen.

Sorry, hab mich beim Titel vertan

Bei b) Wähle z.B. \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rl}1,&\text{falls }x>0\\-1,&\text{sonst}\end{array}\right.\).

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

zu a) macht eine Fallunterscheidung: 1, f(0)>0  d.h, f>0 in einer Umgebung von 0 also f(x)=|f(x)| in einer Umgebung von 0 also stetig.2. ebenso f(0)<0 -f(x) stetig, wenn f(x) stetig deshalb auch |f(x)|=-f(x) stetig

3. f(0)=0  dann die Steigkeitsdefinition für |f|  und f verwenden.

für b) habt ihr ja ein Gegenbeispiel bekommen,

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀
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Zu (a): \(abs:\; x\mapsto |x|\) ist eine stetige Funktion.

Daher ist \(x\mapsto (abs\circ f)(x)\) stetig als Hintereinanderausführung

stetiger Funktionen.

Avatar von 29 k

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