Annäherung einer Funktion mit Polynomen, Beweis n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion

Question

Hallo! Ich habe folgende Aufgabe und leider derzeit keine wirkliche Idee wie ich diese lösen soll. Tipps die mir zur Lösung helfen sind gern gesehen. Danke im Voraus!

Gegeben sei die Funktion f : (0, +∞) → f(x) = (1)/(x²).

a) Die Funktion f soll in der Umgebung des Punktes x₀=1 durch die Polynome nullten, ersten und zweiten Grades angenähert werden. Skizzieren sie die Graphen der Funktion und der Näherungspolynome für |x-1| < 1.

b) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Formel für die n-te Ableitung (n ∈ ℕ₀) der Funktion f. Geben sie anschließend f⁽ⁿ⁾ (1) an.

Answer 1

a) Verwende die Taylorpolynome.

b) n-te Ableitug ist (-1)^n * (n+1)! * x^(-n-2) .

zum Induktionsschritt beachte :

Abl. von (       (-1)^n * (n+1)! * x^(-n-2)       )  ist

= (-1) ^n * (n+1)! * (-n-2) *  x^(-n3)

= (-1) ^n * (n+1)! * (-1)* (n+2) *  x^(-n3)

= (-1) ^(n+1) * (n+2)! * x^(-n3)