Question

Beweise mit vollständiger Induktion folgende Formel für die n-te Ableitung, n ∈ N, der Funktion f(x) = ln(x)

Aufgabe:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Die n-te Ableitung, n ∈ N, der Funktion f(x) = ln(x),

x ∈ (0,∞) hat die Gestalt:

\( \frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Dass es gilt ist ersichtlich, aber ich habe keine Ahnung wie ich das mit der voll. Induktion beweisen soll anstatt mit stupiden einsetzen.

Answer 1

Zeige dass die erste Ableitung \(\frac{(-1)^{1-1}\cdot(1-1)!}{x^1}\) ist.

Zeige dass die \(n+1\)-te Ableitung \(\frac{(-1)^{(n+1)-1}\cdot((n+1)-1)!}{x^{n+1}}\) ist, falls die \(n\)-te Ableitung \(\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{x^{n}}\) ist.

Comments

Aber bin ich da nicht wieder beim simplen Einsetzen?

(Es reicht also wenn ich z.B: b(2) mit b(n+1) (mit n=1) gleichsetze?)

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Aber bin ich da nicht wieder beim simplen Einsetzen?

Du verwendest Ableitungsregeln. Diese sollten natürlich schon bewiesen sein. Dann darfst du sie "einsetzen" = "benutzen".

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Es reicht also wenn ich z.B: b(2) mit b(n+1) (mit n=1) gleichsetze?

Nein, es reicht nicht aus, konkrete Werte für n einzusetzen und dann zu prüfen ob für diese Werte die Behauptung stimmt. Stattdessen muss du

        \(\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{x^{n}}\)

so wie es da steht nach \(x\) ableiten und dann den resultierenden Term nach

        \(\frac{(-1)^{(n+1)-1}\cdot((n+1)-1)!}{x^{n+1}}\)

umformen.