Vektoren-Oberflächeninhalt einer Pyramide berechnen-Wie?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich soll den Oberflächeninhalt einer Pyramide mit den Eckpunkten :

A(3/3/0)

B(1/1/4)

C(6/0/2)

und D(4/4/3) berechnen.

Kann mir jemand vielleicht helfen? Lösung mit verständlichem Rechenweg bitte. Sitze nämlich schon ein paar Stunden dran. Danke im Voraus

Answer 1

Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke $ABC$, $ABD$, $ACD$ und $BCD$. Das ergibt sich aus der Definition von Oberflächeninhalt.

Formel für den Flächeninhalt $F$ eines Dreiecks mit Grundseite $g$ und Höhe $h$ ist

        $F=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$.

Solche Informationen findet man in einer Formelsammlung.

Die Grundseite des Dreiecks kannst du beliebig wählen. In dem Dreieck $PQR$ nehme ich als Beispiel $PQ$ als Grundseite.

Die Länge der Grundseite ist dann der Abstand der Punkte $P$ und $Q$. Schau mal in deinen Unterlagen ob du eine Formel für den Abstand zweier Punkte findest.

Die Höhe ist der Abstand des Punktes $R$ zur Geraden durch $P$ und $Q$. Schau mal in deinen Unterlagen ein Verfahren für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden findest.

Comments

Okay danke! Aber könntest du mir nochmal erklären wie ich h rauskriege. Also ich verstehe wie man die Grundseite berechnet aber nicht wie man h berechnet.

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Paremterdarstellung der Geraden durch $P$ und $Q$ aufstellen:

        $\vec{x} = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}$.

Auf dieser Geraden gibt es einen Punkt $M$, so dass $PQ$ senkrecht zu $MR$ ist. Dieser Punkt ist der Fusspunkt der Höhe.

Weil $M$ auf der Geraden liegt, gilt

(1)        $\vec{OM} = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}$.

Weil $PQ$ senkrecht zu $MR$ ist, ist das Skalaprodukt 0, also

(2)        $\vec{PQ} * \left(\vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\right) = 0$.

Mit Rechenregeln für Skalarprodukt kann man diese Gleichung umformen zu

(3)        $r\cdot \vec{PQ}*\vec{PQ} = -\vec{PQ} * \vec{OP}$.

Gleichung (3) lösen um $r$ zu bestimmen.

Lösung in (1) einsetzen um $M$ zu bestimmen.

$h$ ist der Abstand zwischen $M$ und $R$.

Answer 2

Eine Δ-Pyramide ist 1/6 des Prismas, das auf der zu einem Parallelogramm erweitern Grundfläche der Pyramide beruht

$V=\left(\left(B - A \right) \otimes \left(C - A \right) \right) \; \left(D - A \right) \; \frac{1}{6}$

Comments

Versteh ich nicht?

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Jetzt seh ich's auch, meine Antwort passt nicht zur Frage.

Ich hab das Volumen berechnet....

Mit dem Kreuzprodukt für die Flächen

|(B - A) ⊗ (D - A)| / 2 +

|(D - A) ⊗ (C - A)| / 2 +

|(B - C) ⊗ (D - C)| / 2 +

|(B - A) ⊗ (C - A)| / 2

Answer 3

Hallo,

wie Oswald schon schrieb, hast du vier Dreiecke. Die Höhen kannst du mit folgendem Verfahren berechnen:

Dreieck ABC

Grundseite AC = 4,69

Stelle die Gleichung der Geraden durch A und C auf:

$g:\; \vec{x}=(3,3,0)+r\cdot (3,-3,2)$

Bestimme den Lotfußpunkt F auf g. Lotfußpunkt heißt, die Gerade durch B und F ist senkrecht zu g. Daher muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren = 0 sein.

Da F auf g liegt, kann man seine Koordinaten so schreiben: F (3+3r|3-3r|2r)

Der Vektor BF ist $\overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} 3+3r\\3-3r\\2r \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+3r\\2-3r\\-4+2r \end{pmatrix}\\$

Skalarprodukt = 0:

$\begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 2+3r\\2-3r\\-4+2r \end{pmatrix}=0\\$

Daraus folgt $r=\frac{4}{11}$

In g eingesetzt ergibt $F(\frac{45}{11}|\frac{21}{11}|\frac{8}{11})$

Damit kannst du die Länge der Höhe berechnen.

Gruß, Silvia