Lineare Algebra Berechnung Determinante

Question

Aufgabe:

Es seien $K$ ein Körper, $n \in \mathbb{N}$ und $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in K$. Weisen Sie nach, dass die Matrix $A \in K^{(n+1) \times(n+1)}$ gegeben durch
$A_{i, j}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=1 \\ b_{i-1}, & i \geq 2 \text { und } i>j \\ a_{i-1}, & i \geq 2 \text { und } i \leq j \end{array}\right.$
die in der Form
$A=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & \ldots & a_{2} & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} & a_{n} \end{array}\right)$
geschrieben werden kann, folgende Determinante besitzt:
$\operatorname{det} A=\prod \limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)$  

Problem:

So wie ich es mir gedacht habe, könnte man ab der 2. Zeile jede Zeile darunter miteinander substrahieren, damit man auf eine obere Dreiecksmatrix kommt und dann die Diagonalen miteinander multipliziert. Jedoch bleibt die letzte Zeile dann über und ich weiß nicht wie ich es sonst beweisen sollte.

Comments

Induktion über n:
Induktionsanfang: Selbst ausarbeiten
Induktionsschritt: Letzte Spalte - vorletzte Spalte, dann steht in der letzten Spalte fast überall 0, außer in der letzten Zeile, dort steht a_n - b_n. Nach der letzten Spalte entwickeln und IV einsetzen.