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H 2 Diskrete Verteilung
Eine Tierart bekommt zufällig zwischen 1 und 6 Nachkommen pro Jahr. Die zufällige Nachkommenzahl sei \( X \), beschrieben durch die folgende Funktion,

blob.jpeg

Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\( x \) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline\( f(x) \) & \( 0.1 \) & \( 0.1 \) & \( 0.1 \) & \( 0.2 \) & \( 0.2 \) & \( 0.3 \) \\
\hline
\end{tabular}


wobei \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{1,2,3,4,5,6\} \).
(A) Begründen Sie, dass \( f \) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, d.h. \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( \sum \limits_{x \in \mathbb{R}} f(x)=1 \).
(B) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( F \) von \( X \).
(C) Bestimmen Sie die Quantilfunktion \( F^{-1} \) von \( X \) für \( p \in(0,0.7] \).
(D) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von folgenden Ereignissen:
- Die Anzahl an Nachkommen ist ungleich \( 6 . \)
- Die Nachkommenanzahl ist größer als 3 .
(E) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von \( X \).

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Wo liegen die konkreten Probleme

a)

Das alle Wahrscheinlichkeiten >= 0 sind ist offensichtlich.

Das die Summe der Wahrscheinlichkeiten 3·0.1 + 2·0.2 + 0.3 = 1 ist kann man leicht nachrechnen.

Avatar von 477 k 🚀

Was ist jetzt die Verteilungsfunktion?

Etwa

F(x)=

0,1 für x=1

0,1 für x=2

0,1 für x=3

0,2 für x=4

0,2 für x=5

0,3 für x=6

?

Natürlich nicht. Aber das würdest du vermutlich schnell bemerken, wenn du nur einmal nach Verteilungsfunktion gesucht hättest

https://www.google.de/search?q=verteilungsfunktion

Wie bestimme ich sie dann?

Hast du

https://studyflix.de/statistik/diskrete-dichte-und-verteilungsfunktion-1115

nicht angesehen oder nicht verstanden. Wenn du es nicht verstanden hast dann erkläre genau was du nicht verstanden hast.

Ich muss alle Wahrscheinlichkeiten addieren und daraus das Integral bilden bzw. aufleiten?

Integrieren läuft für stetige Funktionen. Du hast hier eine disketre Funktion. Dort brauchst du nur die Werte aufaddieren

F(x)=
0,1 für x=1
0,2 für x=2
0,3 für x=3
0,5 für x=4
0,7 für x=5
1,0 für x=6

Ahja, vielen dank!

Ich erinnere mich wieder.

Die Quantilfunktion ist ja die Umkehrfunktion von F(x). Wie berechne ich die jetzt?

Normalerweise muss man bei der Umkehrfunktion die Funktion nach x auflösen und dann x und y tauschen. Das geht jetzt ja hier nicht…

Ich bräuchte nur noch bei Aufgabe C und D Hilfe.


Bei D wäre dann ja P≠6?

Und P > 3?

Bei D wäre dann ja P≠6? Und P > 3?

Richtig. Kannst du dann auch die WK bestimmen?

Die Quantilfunktion ist ja die Umkehrfunktion von F(x). Wie berechne ich die jetzt?

Weißt du das die Umkehrfunktion einfach nur die x und y-Koordinaten der Zuordnung vertauscht?

P≠6 wäre die Wahrscheinlichkeit

0,1+0,1+0,1+0,2+0,2=0,7

Heißt zu 70% ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Nachkommen ungleich 6 ist?

Und für P>3 dann

0,2+0,2+0,3=0,7

Also auch zu 70%, dass die Nachkommenanzahl grösser als 3 ist?


Und bei C dann

F^-1(x)=
0,1 für y=1
0,2 für y=2
0,3 für y=3
0,5 für y=4
0,7 für y=5


Die 1,0 für y=6 würde ich weglassen, da nur von 0-0,7 gefordert war?

D ist richtig.

C würde ich so machen.

F^{-1}(x)=
1 für x ≤ 0,1
2 für x ≤ 0,2
3 für x ≤ 0,3
4 für x ≤ 0,5
5 für x ≤ 0,7
6 für x ≤ 1,0

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