Question

Es sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie:

a) Für alle a, b ∈ G gilt
(a^-1 )^-1 =a  und  (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.

b) Für alle a, b, b¯∈ G gelten die Kürzungsregeln

a ∗ b = a ∗ b¯ ⇒ b =b¯ und
 b ∗ a =b¯ ∗ a ⇒ b =b¯.

Answer 1

(1) $$ (a^{-1} )^{-1} = (a^{-1} )^{-1} (a^{-1} a ) = ( (a^{-1})^{-1} a^{-1} ) a = e a = a $$

(2) \( (a b) b^{-1} a^{-1} = e \) also gilt \( (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1} \)

(3) Aus \( ab = ac \) folgt \( a^{-1} a b = a^{-1} a c \) also \( b = c \)