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Wie löse ich folgende Aufgaben? Ich habe leider gar kein Plan wie das gehen soll


Sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten
und geben Sie in jedem Schritt an, welche Gruppeneigenschaften Sie verwenden:
(a) (g ∗ h)^−1 = h^−1 ∗ g^−1 für alle g, h ∈ G.
(b) e^−1 = e.
(c) (g^−1)^−1 = g für alle g ∈ G.

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(g ∗ h)^−1 = h^−1 ∗ g^−1

Nach Def. des Inversen gilt:

(g ∗ h)^−1  ist das Element, dass (von links und von rechts mit g*h

multipliziert e ergibt. Also so

(g*h) * ( h^(-1)*g^(-1))  assoziativ !

= g*  ( h * ( h^(-1)  )   *g^(-1)

= g*  e   *g^(-1)

= g   *g^(-1)

= e

von der anderen Seite entsprechend.

Avatar von 287 k 🚀

ist das die aufgabe nur für a? oder jeweils alle 3

ausgeführt ist die erste Hälfte von a).

Die Methode geht auch für die anderen.

okay verstehe. ich weiß jedoch um ehrlich zu sein nicht wie ich das auf die anderen Aufgaben anwenden soll..

Für den 2. Teil von a) zeige:

(h^-1 * g^-1)*(g*h)=e

Für b) formuliere in Worten: Das Inverse von e ist e.

Also zu zeigen: e ergibt sowohl von rechts als auch von links mit e multipliziert wieder e.

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