Hallo :-)
Jede komplexe Zahl \(z\in \mathbb{C}\) schreibt man in der Form \(z=v+i\cdot w\), mit \(v,w\in \R\).
Betrachte also
$$ 0=(X+1)\cdot a+(-X+i)\cdot b+(-(i+1)\cdot X+i+1)\cdot c+(i\cdot X+1)\cdot d\\=[a-b-(i+1)\cdot c+i\cdot d]\cdot X+[a+i\cdot b+(i+1)\cdot c+d]\\=[\underbrace{(a-b-c)}_{\stackrel{!}{=}0}+i\cdot \underbrace{(-c+d)}_{\stackrel{!}{=}0}]\cdot X+[\underbrace{(a+c+d)}_{\stackrel{!}{=}0}+i\cdot \underbrace{(b+c)}_{\stackrel{!}{=}0}] $$
Damit betrachtest du folgendes LGS:
1.) \(a-b-c=0\)
2.) \(-c+d=0\)
3.) \(a+c+d=0\)
4.) \(b+c=0\)
Matrix-Vektor-Schreibweise:
$$ \begin{pmatrix}1&-1&-1&0\\0&0&-1&1\\1&0&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$
Schreibweise als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{cccc|c}1&-1&-1&0&0\\0&0&-1&1&0\\1&0&1&1&0\\0&0&1&1&0\end{array} \right)$$
