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Aufgabe:

Sei \( (K,+, \cdot, \leq) \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für \( x, y \in K \) :
(i) \( x \neq 0 \Longrightarrow x^{2}>0 \)
(ii) \( x, y<0 \Longrightarrow x+y<0 \)
(iii) \( |x+y| \leq|x|+|y| \)

von

1 Antwort

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ad (iii):

Hier musst du die Dreiecksungleichung beweisen und das geht am einfachsten, indem du sie zunächst quadrierst. (Das ist möglich, weil es sich hier um Beträge handelt.) Also hast du dann:

     x2 + 2xy + y2 ≤ x2 + 2|xy| + y2

Beide Seiten enthalten x2 und y2, also kannst du diese wegkürzen. Nun bleibt folgendes übrig:

     2xy ≤ 2|xy|

Sind x und y beide positiv oder negativ, sind beide Seiten der Ungleichung gleich groß. Ist einer der beiden Faktoren negativ, ist 2xy ≤ 2|xy|. q.e.d

von

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