Aloha :)
zu a) Wir betrachten noch nicht die unendliche Summe, sondern zunächst:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n(x_{k+1}-x_k)=\sum\limits_{k=0}^nx_{k+1}-\sum\limits_{k=0}^nx_k=\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_{k}-\sum\limits_{k=0}^nx_k$$$$\phantom{S_n}=\left(x_{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}\right)-\left(x_0+\sum\limits_{k=1}^nx_k\right)=x_{n+1}-x_0$$
Wenn nun die Folge \((x_n)\) gegen \(x\) konvergiert, so konvergiert auch die Folge \((x_{n+1})\) gegen dasselbe \(x\) und daher konvergiert auch die betrachtete Summe:$$\sum\limits_{k=0}^\infty(x_{k+1}-x_k)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_0)=x-x_0<\infty\quad\checkmark$$
zu b) Hier formen wir die Summe zunächst etwas um:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt k}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}}\right)=-\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{k+2}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$$Mit \(\left(x_k\coloneqq\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) können wir eine gegen \(x=0\) konvergente Folge definieren und erkennen nach Einsetzen in das bisherige Ergebnis die Summe aus Teil (a) wieder:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt k}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)=-\sum\limits_{k=0}^\infty(x_{k+1}-x_k)=-(x-x_0)=x_0=\frac{1}{\sqrt{0+1}}=1$$
