Beweisen Sie diese Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie diesen Satz; Sei R eine Äquivalenzrelation über einer Menge X und seien x,y ∈ X. Falls x~y gilt, dann folgt A(x) = A(y).

Ich werde sehr dankbar, wenn Sie mir helfen.

Comments

Ich bitte um Ihre Hilfe.

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Wie ist denn A(x) definiert ?

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Was ist denn A(x) ? Soll das die Äquivalenzklasse sein,

in der x liegt ? Dann ist es doch trivial:

In der liegen doch alle die, die äquivalent zu x sind .

Answer 1

Wenn \(A(x)\) die Äquivalenzklasse von \(x\) bedeuten soll, dann:

\(z\in A(x)\Rightarrow z\sim x\). Wegen \(x\sim y\) folgt aus der Transitivität

\(z\sim y\), also \(z\in A(y)\), somit \(A(x)\subseteq A(y)\) und aus Symmetriegründen

analog \(A(y)\subseteq A(x)\), folglich \(A(x)=A(y)\).

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Vielen lieben Dank :)