Bilden die Vektoren ein linear unabhängiges System?

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren im jeweiligen Vektorraum V über dem Körper K ein linear
unabhängiges System bilden. Im Fall der linearen Abhängigkeit stellen Sie einen der Vektoren als
Linearkombination der anderen dar.

1/3, π

V = R, K = Q


Problem/Ansatz:

Die vorherigen Aufgaben zu diesem Thema konnte ich noch lösen, jedoch bin ich bei dieser Teilaufgabe zunächst ein wenig skeptisch.
Meine Vermutung wäre, dass die Vektoren kein System bilden, da der Körper nur die rationalen Zahlen umfasst und π nicht dazu gehört. Somit würde man nichts berechnen müssen, da das Ergebnis ja schon klar ist. Bin mir dennoch sehr unsicher, eine Erklärung wäre super!

Answer 1

dass die Vektoren kein System bilden, da der Körper nur die rationalen Zahlen umfasst und π nicht dazu gehört.

Mit dem gleichen Argument bilden die Vektoren $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)$ in dem Vektorraum $\mathbb{R}^2$ über dem Körper $\mathbb{R}$ kein System, da der Körper nur die reellen Zahlen umfasst und $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$ nicht dazu gehört.

stellen Sie einen der Vektoren als Linearkombination der anderen dar.

Das geht immer dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind. Sind also $\frac{1}{3}$ und $\pi$ linear abhängig, dann gibt es ein $q\in \mathbb{Q}$, so dass

          $\pi = q\cdot \frac{1}{3}$

oder

        $\frac{1}{3} = q\cdot \pi$

ist.

Comments

ich hänge an der gleichen Aufgabe und komme mit der Antwort nicht wirklich weiter. Wenn ich versuche den Gaußalgo. anzuwenden kann ich ja nie wirklich auf 0 kommen da pi doch unendlich ist.
Wie wäre denn dann die Lösung, ich hätte auch gesagt das man es nicht lösen kann.

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Wenn ich versuche den Gaußalgo. anzuwenden

Auf welches Gleichungssystem hast du den Gaußalgorithmus angewendet?

da pi doch unendlich ist.

$\pi$ ist nicht unendlich. $\pi$ ist ungefähr $3{,}14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494$ also insbesondere zwischen $3$ und $4$.