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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung
z2 − 2*z1 + 1 = 0

,wobei z1 das komplex konjugierte von z ist.


Problem/Ansatz:

Wie löst man so eine Gleichung, bei dem man einen komplex konjugierten Teil hat? Meine Idee war es, die Gleichung in die Form (a+ib)2-2*(a-ib)+1=0 umzuschreiben, aber das scheint mir auch nicht richtig zu sein.

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2 Antworten

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Meine Idee war es, die Gleichung in die Form (a+ib)2-2*(a-ib)+1=0 umzuschreiben.

Mach das und löse die Gleichung.

Avatar von 107 k 🚀

Hast du vielleicht ein paar Tipps, wie ich die Gleichung lösen kann?

Löse die Gleichung so als ob i\mathrm{i} eine Variable wäre. Außer wenn während deiner Rechnung i2\mathrm{i}^2 auftaucht; das darfst du dann durch 1-1 ersetzen.

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z22z+1=0z^2-2\overline z+1=0(a+bi)22(abi)+1=0(a+b\mathrm i)^2-2(a-b\mathrm i)+1=0Multipliziere aus und sortiere Real- und Imaginärteile(a22ab2+1)+(2ab+2b)i=0.(a^2-2a-b^2+1)+(2ab+2b)\mathrm i=0.Beide Teile müssen Null sein.

Der Imaginärteil wird genau dann Null, wenn a=1a=-1 oder b=0b=0 ist.
Für a=1a=-1 wird der Realteil Null, wenn b=2b=2 oder b=2b=-2 ist.
Für b=0b=0 wird der Realteil Null, wenn a=1a=1 ist.

Die Lösungen lauten demnach z1=1+2iz_1=-1+2\mathrm i, z2=12iz_2=-1-2\mathrm i und z3=1z_3=1.

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