Approximation mit Taylor-Polynom

Question

Aufgabe:

Man approximiere folgende Funktionen mittels eines Taylor-Polynoms (um \( x=0 \) )

a)   \( f(x)=e^{\sin x} \)

bis Glieder 3. Ordnung

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die richtige Lösung. Die Formeln weiß ich und auch richtig abgeleitet

Comments

Die Formeln weiß ich und auch richtig abgeleitet

Dann wäre es sinnvoll, wenn Du die Dir bekannten Formeln und Deine Ableitungen hier aufschreibst.

Answer 1

Die Entwicklung von e^x als 1+x+x^2/2+x^3/6 +... sollte bekannt sein.

Die Entwicklung von sin(x) durch x-x^3/6+... wohl auch.

\(e^{sin(x)}\) beginnt also mit 1+sin(x) +(sin(x))^2 /2 +(sin(x))^3 /6 ...,

also mit 1+ x- x^3 /6+.. +(x- x^3/6+...)^2 /2 +(x-x^3/6+...)^3 /6 ...,

Jetzt suche davon alles heraus, was keinen Exponenten größer 3 hat.

Denke daran, bei der Potenzierung im grünen und im roten Ausdruck den binomischen Satz zu verwenden.

Answer 2

Aloha :)

Bist du sicher, dass die Ableitungen stimmen? Was anderes kann man ja eigentlich kaum falsch machen. Hier zum Vergleich meine Ergebnisse:

$$f(x)=e^{\sin x}\implies f(0)=1$$$$f'(x)=e^{\sin x}\cdot\cos x\implies f'(0)=1$$$$f''(x)=e^{\sin x}\cdot(\cos^2 x-\sin x)\implies f''(0)=1$$$$f'''(x)=e^{\sin x}\cos x\cdot(-3\sin x+\cos^2x-1)\implies f'''(0)=0$$

Damit lautet die Taylorentwicklung bis zur 3-ten Ordnung:$$e^{\sin x}\approx f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot\frac{x^2}{2!}+f'''(0)\cdot\frac{x^3}{3!}$$$$e^{\sin x}\approx 1+x+\frac{x^2}{2}$$

Comments

Soll man hier statt f(0) —-> f(1) schreiben?

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Es werden die Ableitungen am Entwicklungspunkt \((x_0=0)\) benötigt. Die Taylor-Formel lautet ja:$$f(x)\approx f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot(x-x_0)^1+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}\cdot(x-x_0)^3+\cdots$$Für \(x_0=0\) heißt das:$$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3+\cdots$$

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Danke sehr für deine großartige Hilfe&Erklärung!

Jetzt verstehe ich es besser!