Beweis zum Ideal vom Ring der nun Matrizen.

Question

Aufgabe:

Hey Leute ich hänge an folgendem Problem:

Ich habe einen Körper K und sei n∈ℕ. Zudem haben wir R als den Ring der n x n Matrizen und ein beidseitiges Ideal I in R.

Nun soll ich zeigen, dass entweder I = {0} oder I = K^nxn gilt.

Ich hoffe mir kann jemand helfen, wie ich das beweise.

Answer 1

Sei $A\in I$ mit $A\neq 0$. Dann ist $$A=\sum_{r,s=1}^n a_{rs}E_{rs}$$

wobei $E_{rs}$ die Matrix ist, die in der Position (r,s) eine 1 stehen hat

und sonst nur Nullen.

Da $A\neq 0$ ist, gibt es ein Index-Paar $(j,i)$, so dass $a_{ji}\neq 0$ ist.

Da $I$ ein zweiseitiges Ideal ist, liegt $E_{ij}AE_{ij}$ ebenfalls in $I$.

Nun ist $$E_{ij}AE_{ij}=E_{ij}(\sum_{r,s}a_{rs}E_{rs})E_{ij}=\sum_{r,s}a_{rs}E_{ij}E_{rs}E_{ij}=a_{ji}E_{ij}$$

Mit $(a_{ji}^{-1}E_n)\cdot a_{ji}E_{ij}$, wobei $E_n$ die Einheitsmatrix ist, liegt dann auch

$E_{ij}$ in $I$.

Durch Multiplikation mit geeignete Permutationsmatrizen $P$ von links und $Q$

von rechts kann man aus $E_{ij}$ jede Matrizeneinheit

$E_{rs}\; (r,s=1,\cdots,n)$ herstellen. Somit liegen diese alle in $I$.

Man kann sich leicht klarmachen, dass ein Ideal im Matrizenring ein

Untervektorraum des Vektorraums der Matrizen ist.

Da die Matrizen $E_{rs}\; (r,s=1,\cdots,n)$ ein Erzeugendensystem bilden,

ist damit $I=K^{n\times n}$.