LU Zerlegung - Allgemein

Question

Zeigen Sie, dass für jede Matrix A, für die eine LU-Zerlegung A = LU existiert, gilt: A^-1 = U^-1L^-1

 

^{ich wüsste nicht, wie ich das zeigen soll... Hat jemand vielleicht eine Idee?}

Answer 1

A = L U

[von rechts mit A ^-1 multiplizieren:]

<=> A A ^-1 = L U A ^-1

[Links ergibt sich die Einheitsmatrix E :]

<=> E = L U A ^-1

[Von links mit L ^-1 multiplizieren:]

<=> L ^-1 = L ^-1 L U  A ^-1 = E U A ^-1 = U A ^-1

[Von links mit U ^-1 multiplizieren:]

<=> U ^-1 L ^-1 = U ^-1 U A ^-1 = E  A ^-1 =  A ^-1

q.e.d.