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Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{x^{2}+64}{-x^{4}+12x^{3}-48x^{2}+64x} \)


Problem/Ansatz:

Es soll mithilfe der Partialbruchzerlegung, folgendes Integral bestimmt werden. Um dies aber zutun, brauch ich die Nullstellen des Nenners. Auf die erste kommt man sehr leicht, da man x ausklammern kann im Nenner und so auf 0 kommt als erste Nullstelle. Wie kriege ich die anderen heraus?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

da man x ausklammern kann

Ja, aber ich würde trotzdenm (-x) ausklammern.

Als weitere Nullstelle (falls ganzzahlig) kommen nur die Teiler von 64 (bzw. von -64) in Frage.

Probiere sie durch.

von 38 k

pardon, meinte -x mit ausklammern. Durch probieren bin ich noch auf gekommen, aber weiß nicht, ob dies die korrekte mathematische Lösung ist.

4* meinte ich im Kommentar als zweite Nullstelle

Dann dividiere x³-12x²+48x-64 jetzt durch (x-4).

Ich hab jetzt durch (x-4) geteilt und hab x1/2 = -4 raus mit der p/q Formel

also x1/2 = -4

X3=0

x4 = 4

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Aloha :)

Zuerst musst du den Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Als erstes kann man \((-x)\) ausklammern und erkennt dann, dass eine binomische Formel dritten Grades übrig bleibt:$$\phantom{=}-x^4+12x^3-48x^2+64x=(-x)(x^3-12x^2+48x-64)$$$$=(-x)(\underbrace{x^3}_{=a^3}-\underbrace{3\cdot x^2\cdot4}_{=3a^2b}+\underbrace{3\cdot x\cdot 4^2}_{=3ab^2}-\underbrace{4^3}_{b^3})=(-x)\cdot(\underbrace{x}_{=a}-\underbrace{4}_{=b})^3$$Daraus ergibt sich folgende Zerlegung:

$$f(x)=\frac{x^2+64}{(-x)(x-4)^3}=\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}+\frac{D}{(x-4)^3}$$Die Werte für \(A\) und \(D\) können wir sofort bestimmen:$$A=\left.\frac{-x^2-64}{\cancel{x}\cdot(x-4)^3}\right|_{x=0}=\frac{-64}{-64}=1$$$$D=\left.\frac{-x^2-64}{x\cdot\cancel{(x-4)^3}}\right|_{x=4}=\frac{-80}{4}=-20$$

Wir setzen \(A\) und \(D\) in unsere Zerlegung ein und formen etwas um:$$\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}-\frac{20}{(x-4)^3}$$$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}=\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}+\frac{20x}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{-(x-4)(x-16)}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}$$$$C=\left.\frac{-(x-16)}{x\cdot\cancel{(x-4)^2}}\right|_{x=4}=\frac{12}{4}=3$$

Wir setzen \(C\) in unsere Zerlegung ein und formen wieder um:$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{3}{(x-4)^2}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}$$$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}-\frac{3x}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4x+16}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4(x-4)}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4}{x\cdot(x-4)}$$$$B=\left.\frac{-4}{x\cdot\cancel{(x-4)}}\right|_{x=4}=\frac{-4}{4}=-1$$

Damit haben wir folgende Partialbruchzerlegung ermittelt:$$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}+\frac{3}{(x-4)^2}-\frac{20}{(x-4)^3}$$Das zugehörige Integral kannst du nun sofort hinschreiben:$$\int f(x)\,dx=\ln|x|-\ln|x-4|-\frac{3}{x-4}+\frac{10}{(x-4)^2}+\text{const}$$Das kannst du noch zusammenfassen:$$\int f(x)\,dx=\ln\left|\frac{x}{x-4}\right|+\frac{22-3x}{(x-4)^2}+\text{const}$$

von 109 k 🚀

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