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Aufgabe:

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Eigenwerte und Eigenvektoren von A(s,t)
in Abhängigkeit von den reellen Zahlen s und t Bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe als Klausur Vorbereitung erhalten und ich habe kein Plan, wie ich damit umgehen kann, deshalb bitte ich euch um Hilfe.


Danke sehr im Voraus.



Mit besten Grüßen


Keddeh

vor von

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounte... \o/

Mir gefällt es, wenn sich jemand aktiv auf eine Klausur vorbereitet, gerade wenn "kein Plan" vorhanden ist. Damit du einen Plan bekommst, hier eine ausführliche Rechnung als Muster zum Nachvollziehen.

Bestimmung der Eigenwerte

Die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrrrr}-1 & s & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & t & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4\end{array}\right)$$sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das wir mit Hilfe der Determinante besimmen:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}-1-\lambda & s & 0 & 0 & 0\\0 & -1-\lambda & t & 0 & 0\\0 & 0 & -1-\lambda & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda\end{array}\right)$$

Man kann einen Faktor aus einer Zeile oder aus einer Spalte der Determinante vor die Dieterminante ziehen. Aus der ersten Spalte können wir den Faktor \((-1-\lambda)\) vor die Determinante ziehen. Aus der dritten Zeile können wir diesen Faktor ein weiters Mal vor die Determinante ziehen:$$0\stackrel!=(-1-\lambda)^2\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}1 & s & 0 & 0 & 0\\0 & -1-\lambda & t & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda\end{array}\right)$$

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert. Dasselbe gilt für Spalten. Wir subtrahieren von Spalte 2 das \(s-\)fache der Spalte 1 und von Zeile 2 das \(t-\)fache der Zeile 3:$$0\stackrel!=(-1-\lambda)^2\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1-\lambda & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda\end{array}\right)$$

Jetzt steht in Spalte 2 der Faktor \((-1-\lambda)\) alleine rum, den wir vor die Determinate ziehen:$$0\stackrel!=(-1-\lambda)^3\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda\end{array}\right)$$

Übrig bleibt eine kleine 2x2-Determinante rechts unten:$$0\stackrel!=(-1-\lambda)^3\cdot\left(\;(1-\lambda)(4-\lambda)-5\cdot2\;\right)=(-1-\lambda)^3\cdot(4-5\lambda+\lambda^2-10)$$$$\phantom{0}=(-1-\lambda)^3\cdot(\lambda^2-5\lambda-6)=-(1+\lambda)^3\cdot(\lambda+1)(\lambda-6)=-(\lambda+1)^4(\lambda-6)$$

Die Matrix \(A\) hat also die Eigenwerte \(\boxed{\lambda_1=-1}\) und \(\boxed{\lambda_2=6}\).

Bestimmung der Eigenvektoren

Nun musst du die Lösungsvektoren \(\vec x\) der Eigenwertgleichung ermitteln:$$(A-\lambda\,\mathbf 1)\cdot\vec x=\vec 0$$

1. Eigenwert \(\lambda=-1\):

$$\begin{array}{rrrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & 0 &\text{Aktion}\\\hline-1-\lambda & s & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda=-1\\0 & -1-\lambda & t & 0 & 0 & 0 & \lambda=-1\\0 & 0 & -1-\lambda & 0 & 0 & 0 & \lambda=-1\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2 & 0 & \lambda=-1\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda & 0& \lambda=-1\\\hline 0 & s & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & t & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & :\,2\\0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 &-\frac52\cdot\text{Zeile 4}\\\hline 0 & s & 0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow s\cdot x_2=0\\ 0 & 0 & t & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow t\cdot x_3=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow x_4+x_5=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}$$

Wir erhalten 3 Bedingungen an die Lösungen \(\vec x\):$$s\cdot x_2=0\quad;\quad t\cdot x_3=0\quad;\quad x_4+x_5=0$$Diese erfordern nun leider wieder 4 Unterscheidungen:$$\text{a)}\;s\ne0\;\land\; t\ne0\quad\implies\quad x_2=0\;;\;x_3=0\;;\;x_5=-x_4\quad\implies\quad\text{2 Eigenvektoren}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\\0\\x_4\\-x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$

$$\text{b)}\;s\ne0\;\land\; t=0\quad\implies\quad x_2=0\;;\;x_5=-x_4\quad\implies\quad\text{3 Eigenvektoren}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\\x_4\\-x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$

$$\text{c)}\;s=0\;\land\; t\ne0\quad\implies\quad x_3=0\;;\;x_5=-x_4\quad\implies\quad\text{3 Eigenvektoren}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\\x_4\\-x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$

$$\text{d)}\;s=0\;\land\; t=0\quad\implies\quad x_5=-x_4\quad\implies\quad\text{4 Eigenvektoren}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\-x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Der Eigenwert \(\lambda=-1\) ist unabhängig von \(s\) und \(t\), aber die Eigenvektoren hängen von \(s\) und \(t\). Wir fassen die Eigenvektoren zu \(\lambda=-1\) zusammen:

$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\text{ falls t=0}\quad;\quad v_4=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\text{ falls s=0}$$

2. Eigenwert \(\lambda=6\):

$$\begin{array}{rrrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & 0 &\text{Aktion}\\\hline-1-\lambda & s & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda=6\\0 & -1-\lambda & t & 0 & 0 & 0 & \lambda=6\\0 & 0 & -1-\lambda & 0 & 0 & 0 & \lambda=6\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 2 & 0 & \lambda=6\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4-\lambda & 0& \lambda=6\\\hline -7 & s & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -7 & t & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -7 & 0 & 0 & 0 &\colon\,(-7) \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 5 & -2 & 0 & +\text{Zeile 4}\\\hline -7 & s & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -7 & t & 0 & 0 & 0 &-t\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline -7 & s & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -7 & 0 & 0 & 0 & 0 &:\,(-7)\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline -7 & s & 0 & 0 & 0 & 0 &-s\cdot\text{Zeile 2}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline -7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &:\,(-7)\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 0 & :\,2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1=0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_2=0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_3=0\\ 0 & 0 & 0 & -\frac52 & 1 & 0 &\Rightarrow x_5=\frac52x_4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}$$

Damit lauten die Lösungen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\x_4\\\frac52x_4\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\frac52\end{pmatrix}$$Zu diesem Eigenwert gibt es offensichtlich nur immer einen Eigenvektor:$$\vec v_5=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\frac52\end{pmatrix}$$

Bin mal gespannt, ob du bis hierhin kommst ;)

vor von 108 k 🚀
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Deine Matrix ist eine Blockmatrix und die Determinante ist das Produkt der einzelnen Determinaten. Eine davon ist eine obere Dreiecksmatrix. Das ist es leicht, die Determinate zu berechnen.

vor von 35 k
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ICh würde die 4.Zeile zur 5.Zeile addieren um eine Diagonalmatrix zu erhalten,

\(|A - \lambda E|=\scriptsize \left(\begin{array}{rrrrr}-\lambda - 1&a12&0&0&0\\0&-\lambda - 1&a23&0&0\\0&0&-\lambda - 1&0&0\\0&0&0&-\lambda + 1&2\\0&0&0&0&-\lambda + 4 - \frac{10}{-\lambda + 1}\\\end{array}\right)\)

Zusammenfassung https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

===>

\(Eigenwerte \, :=  \, \left\{ -1, 6 \right\} \\ DimEigenraum \, :=  \, \left\{ 2, 1 \right\} \)

===>

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrrrr}0&a12&0&0&0\\0&0&a23&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&2&2\\0&0&0&5&5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&6&\left(\begin{array}{rrrrr}-7&a12&0&0&0\\0&-7&a23&0&0\\0&0&-7&0&0\\0&0&0&-5&2\\0&0&0&5&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}x1&0\\0&0\\0&0\\-x5&\frac{2}{5} \; x5\\x5&x5\\\end{array}\right)\)

vor von 16 k

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