symmetrische Matrix A, Eigenwerte, Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M(2x2; ℝ) eine symmetrische Matrix mit zwei verschiedenen reellen Eigenwerten λ1, λ2 und einem Eigenvektor v1 zum Eigenwert λ1.

Beweisen Sie, dass jeder Vektor v2 ∈ ℝ \ {0} mit <v1,v2> = 0 Eigenvektor zum Eigenwert λ2 ist.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Was ich weiß, ist: A = A^{T ,} da A symmetrisch.

Answer 1

$A \text { symmetrisch: } A = A^{T}, \;\lambda_i\; Eigenwert,\; e_i\; Eigenvektor \\ \begin{aligned} \lambda_1 \left<e_1,e_2\right>\; = \lambda_{1} e_{1}^{{T}} e_{2} &=\left(A e_{1}\right)^{{T}} e_{2}=e_{1}^{{T}} A^{{T}} e_{2} &=\lambda_{2} e_{1}^{{T}} e_{2} \\ 0 &=\underbrace{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}_{\neq 0} e_{1}^{{T}} e_{2} \end{aligned}$

Comments

Warum gilt λ1e1^T = (Ae1)^T ?

Answer 2

Da $A$ zwei verschiedene Eigenwerte, $\lambda_1$ und $\lambda_2$ besitzt, gibt es zwei linear unabhängige Eigenvektoren $v_1$ und $v_2$ mit diesen Eigenwerten. Und da $A$ symmetrisch ist, sind die beiden Eigenvektoren orthogonal zueinander. Sei $w$ ein Vektor, der senkrecht zu $v_1$ ist, dann ist $w$ parallel zu $v_2$ und es gilt $w = \alpha v_2$. Daraus folgt aber $$A w = A \alpha v_2 = \alpha \lambda_2 v_2 = \lambda_2 w$$ was zu beweisen war.

Nebenbemerkung zu die Eigenvektoren sind orthogonal zueinander: $$\lambda_1 < v_1 , v_2 > = <\lambda_1 v_1 , v_2 > = < Av_1, v_2> = <v_1, Av_2> = \lambda_2<v_1,v_2>$$

Da $\lambda_1 \ne \lambda_2$ folgt $<v_1,v_2>=0$ d.h. die Vektoren $v_1$ und $v_2$ stehen senkrecht zueinander.