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Aufgabe:

Hallo zusammen, ich habe diese Aufgabe aus Numerik, die so schwer für mich ist. Ich wäre dankbar wenn jemand mir dabei helfen würde.
Danke im Voraus! :-)


Rekursion für Integrale.
Gegeben ist die Folge bestimmter Integrale
$$ I_{n}=\pi \int \limits_{0}^{1} \sin (\pi x) x^{2 n} \mathrm{~d} x \quad \text { mit } \quad n \in \mathbb{N}_{0} $$
a) Leiten Sie die Abschätzung \( 0 \leq I_{n} \leq 2 \) für alle \( n \) her.


b) Zeigen Sie durch partielle Integration, dass die Folge der Integrale die ZweiTerm-Rekursion
$$ I_{n}=1-\frac{2 n(2 n-1)}{\pi^{2}} I_{n-1} $$        \( (\star) . \)
für \( n \geq 1 \) erfüllt und der Anfangswert \( I_{0}=2 \) ist.


c) Der Anfangswert \( I_{0} \) ist eine ganze Zahl, während \( I_{1} \) eine irrationale Zahl ist und daher auf einem Rechner approximiert werden muss. Sei \( \tilde{I}_{1} \) eine Näherung für \( I_{1} \). Es ergeben sich (bei exakter Rechnung) die Näherungswerte \( \tilde{I}_{n} \) für \( n>1 \) aus der Zwei-Term-Rekursion \( (\star) . \) Leiten Sie eine Formel für \( \Delta I_{n}=\tilde{I}_{n}-I_{n} \) in Abhängigkeit von \( \Delta I_{1} \) her. Was ergibt sich für das Fehlerwachstum bei großem \( n ? \)

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

integriere partiell mit x^2n=u v'=sin(pix)  das entstehende Integral  mit cos nochmal

Gruß lul

von 58 k 🚀

Danke erstmal für deine Antwort.

Auf dieser Webseite https://www.integralrechner.de/# hat gezeigt dass die Lösung so ist


\( -\frac{\pi^{-2 n-1} x^{2 n}\left(\Gamma(2 n+1,-\mathrm{i} \pi x)(\mathrm{i} x)^{2 n}+\Gamma(2 n+1, \mathrm{i} \pi x)(-\mathrm{i} x)^{2 n}\right)}{2(-\mathrm{i} x)^{2 n}(\mathrm{i} x)^{2 n}}+C \)


aber ich glaube das ist falsch oder?

Hallo

du sollst ja nicht das Integral lösen, sondern eine Rekursionsgleichung zeigen

also wie kommt man von dem Integral mir x^2n zu dem ,it x^(2n-2)

das hatte ich dir gesagt. Lies die aufgaben genauer!

lul

so ? wenn ja was soll ich dann machen ?


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Danke im Voraus! :)

Hallo

ich hatte dir geraten, die partielle integration genau umgekehrt zu machen! also  u=x^2n u'=2n*x2n-1, v'=sin(pix) v=-1/picos(pix)

ausserdem solltest du die Grenzen  soweit fertig integriert  einsetzen.

dann nochmal partiell integrieren gibt die das Integral für n-2

das ersetzen durch die komplexen Funktionen hilft nicht, ausreden hast du da einfach das Integral weggelassen?

lul

was soll ich dann machen? ich habe nicht so gut verstanden..

Danke im Voraus!


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Hallo

der erste Schritt ist jetzt richtig, aber was du mit dem entstehenden Integral machst ist falsch. du ersetzt cos durch die komplexen e Funktionen und lässt das Integral einfach weg? (vergiß diese komplexe Darstellung für diese Aufgabe)

dieses Integral musst du nochmal partiell integrieren, um wieder ein Integral mit sin zu erreichen.

in deinem ersten post ist wohl auch ein Fehler In=1-(2n*(2n-1)/pi^2*In-2  verbessert habe ich statt In-1 In-2, sieh in deinen Unterlagen nach, ob ich recht habe

Gruß lul

Was ist dann die Antwort von dem Integral wenn ich die komplexen e Funktionen weg mache?

Hallo

zum dritten mal: du musst nochmal partiell integrieren, dann hast du In-2

wie liest du posts?

aus meinem letzen post:"dieses Integral musst du nochmal partiell integrieren, um wieder ein Integral mit sin zu erreichen

Gruß lul

in deinem ersten post ist wohl auch ein Fehler In=1-(2n*(2n-1)/pi2*In-2  verbessert habe ich statt In-1 In-2, sieh in deinen Unterlagen nach, ob ich recht habe

Ich habe jetzt in meinen Unterlagen geguckt I_n-1 ist richtig


Unbenannt.PNG

Ich habe jetzt so gemacht (sieh das Bild).. was soll ich jetzt machen ? wie soll ich auf die Folge der Integrale kommen?


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Hallo

siehst du dass du als letztes bis auf einen Faktor In-1 hast? also schreib statt dem Integral Faktor mal In-2 und du hast die gesuchte Formel

deine Zettel sind mir zu mühsam zu lesen, ich hab also nicht jeden Schritt kontrollier, nur dass am Ende wirklich  2n*(2n-1)/pi^2*In-1 steht, was richtig ist.

mit n-2 und n-1 hatte ich mich vertan bei In steht ja x^2n  bei In-1 ist es dann x2n-2

Gruß lul

bei In steht ja x^(2n)  bei I_(n-1) ist es dann x^(2n-2)

wieso sollte es bei In-1 ist es dann x^(2n-2) und nicht x^(2n-1) ?

Danke im Voraus!

Hallo

wenn du in 2n n durch n-1 ersetzt ist es 2*(n-2)

lul

Ok alles klar danke :)

Könntest du mir bitte noch bei c) helfen?

Hallo

erst mal deine Überlegungen, ich hab jetzt schon viel geantwortet.

lul

So vielleicht ?


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