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Aufgabe:

Wir betrachten in dieser Aufgabe den folgenden Ausdruck

\( x=\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{c+\cdots}}}, \quad \) wobei \( c>0 \)

(a) Konstruieren Sie eine rekursiv definierte Folge (xn), die das Verhalten des Terms beschreiben.
(b) Zeigen Sie, dass x element R gilt, dass also die Folge (xn) aus Teil (a) tatsächlich konvergiert und
bestimmen Sie den Grenzwert.
Problem/Ansatz:

Hey, ich scheitere gerade an dieser Aufgabe, an sich dachte, dass die Aufgabe ganz leicht wird, aber ich komme zu nichts, ich wäre für Hilfe sehr sehr dankbar.
mfg Sandra

vor von

2 Antworten

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Beste Antwort

$$ Folge:\\ a_{n} = \sqrt{c + a_{n-1}}, \quad a_{0} = 0, \quad a_{n} >= 0 \quad für \quad alle \quad n \\ Grenzwert: \\ a_{n} = \sqrt{a_{n}^2} = \sqrt{a_{n}^2 - a_{n-1} + a_{n-1}} \\ daraus \quad folgt:\\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} = c \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} - c = 0 \\ sei \lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = L, \quad dann \quad gilt:\\ L^2 - L -c = 0 \\ Lösung \quad L1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1+4c}) \\ Lösung \quad L2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1+4c})\\ wegen \quad L2 < 0 \quad ist \quad L1 \quad der \quad Grenzwert \quad der \quad Folge.$$

vor von 1,0 k
sei \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\), dann ...

Um den Grenzwert auf diese Weise berechnen zu können, muss zunächst dessen Existenz nachgewiesen werden. Leider gehst du darauf mit keinem Wort ein.

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Es geht los mit $$a_1=\red{\sqrt{c}}$$.

Das zweite Folgenglied ist $$a_2=\sqrt{c+\red{\sqrt{c}}}$$.

Drücke das zweite Folgenglied anders aus, indem du statt \(\red{\sqrt{c}}\) einfach \(a_1\) hinschreibst.

So wie die jetzt \(a_2\) durch \(a_1\) ausgedrückt hast, kannst du \(a_{n+1}\) durch \(a_n\) ausdrücken.

vor von 38 k

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