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Aufgabe:


                   25  15   20
         A =     0    41  12      ∈ℝ3x3
                    0   12   34


a) Bestimmen Sie das charakterische Polynom sowie das Minimalpolynom von A.

b) Bestimmen Sie die Eigenräume und Haupträume von A.

c) Schreiben Sie A = D + N mit einer Diagonalmatrix D und einer nilpotenten
    Matrix N


Problem/Ansatz:

zu a) ich habe bereits das charP(A)= -λ3+100λ2-3125λ+31250 und die Eigenwerte λ₁= 50 und λ₂=25

         daraus folgt die Linearfaktorzerlegung: 0 = -(λ-50)(λ-25)2

         Ich habe nun versucht das Minimalpolynom zu finden aber da minPA=0 sein muss passen weder die

         Linearfaktoren noch das charP.


zu b) ich habe zu den Eigenwerten die Eigenräume:

                            0                                                                                  1

        E1=  {  s · ( 4/3 ) }  für λ₁= 50, s∈ℝ                                E2=  {  r · ( 0 ) }  für λ₂= 25, r∈ℝ

                        1                                                                                  0
                         

         Jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich auf die Haupträume komme.


Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

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Beste Antwort

Ich vertraue mal deinen Rechnungen ;-)

Für beide Eigenwerte hast du die geometrische Vielfachheit

\(\gamma(50)=\gamma(25)=1\).

Die alg. Vielfachheiten sind \(\alpha(50)=1\) und \(\alpha(25)=2\neq \gamma(25)\).

Daher muss das Minimalpolynom den Linearfaktor \((x-50)\) enthalten und

den Faktor \((x-25)^2\) enthalten. Bis auf das leidige Minuszeichen

ist also das Minimalpolynom = charakteristisches Polynom.

Der Hauptraum zum Eigenwert 25 ist der Kern von \((A-25E)^2\).

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