Grenzwert bestimmen nach Definition

Question

Aufgabe:

Der Grenzwert soll nach Definition bestimmt werden.

a_n= (2n²+3)/(n²-n)

Problem/Ansatz:

Bei mir scheitert es gerade daran, dass Epsilon zu bestimmen. Grenzwert ist ja 2, also I (2n2+3)/(n2-n) - 2 I < ε . Aber dann stoße ich auf das Problem, dass ich im Zähler und Nenner ein n habe und komme dann nicht weiter. Vielleicht kann ja jemand helfen?

Comments

Stand ist: (3+2n)/(n²-n)< ε

Answer 1

Du musst ja ein N bestimmen, so dass für

alle n>N gilt

      I (2n²+3)/(n²-n) - 2 I < ε 

Dazu die 2 ( also 2/1 ) erweitern mit (n^2 - n ) gibt

      I (2n^2+3)/(n^2-n) - 2(n^2 - n )/(n^2 - n ) I < ε

<=>        I (2n^2+3 - 2n^2 + 2n ))/(n^2-n) I < ε

<=>        I 3  + 2n ))/(n^2-n) I < ε   

Für n>1 ist alles positiv, also Betrag weg gibt

             3  + 2n  < ε * (n^2-n)   | :n

         3/n + 2    < nε  -   ε

              2 +  ε   < nε  - 3/n  <  n ε

            also musst du erfüllen

                2 +  ε   <  n ε   | :      ε

             2/ ε   + 1   < n

Wähle also für N die erste nat. Zahl, die größer

ist als       2/ ε  + 1  (Die gibt es nach Archimedes.)

und du hast es erledigt.

Answer 2

$$\left|\frac{2n^2+3}{n^2-n}-2\right|=\left|\frac{2n+3}{n^2-n}\right|\lt^*\left|\frac{4n-4}{n^2-n}\right|=\frac{4}{n}\\\text{also }N(\epsilon)\gt\frac{4}{\epsilon}\text{ wählen führt zum Ziel. Die Ungleichung * gilt ab }n\gt 4$$