Zeige ord(M) element von {1,2,3,4,6}

Question

folgende Aufgaben:

Sei  M ∈ SL2(Z) ein Element von endlicher Ordnung und B={1, 2, 3, 4, 6}.

Wir sollen nun zeigen, dass ord(M) ∈ B

Ich würde mich über jede Hilfe freuen. :)

Comments

Ist das wirklich die Originalfragestellung?
Denn 2. folgt doch trivialerweise aus 1.

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Nein, in der Aufgabenstellung steht nur die Aufgabe 1. Wenns so ist dann lösche ich die Aufgabe 2. Danke:)

Hättest du eine Idee wie man die 1 zeigen kann?

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Oh die Frage lässt sich nicht bearbeiten :/

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Warum nicht ?

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Das weiß ich leider nicht. Ich kann es aber nicht mehr bearbeiten.

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Habe es für dich durchgeführt. So OK ?

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Ja dankeschön :)

Weißt du auch wie ich das zeigen kann?

Ich steh grad auf dem Schlauch.

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Leider noch nicht. Bin noch am Grübeln.

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Okay. Ich würde mich freuen wenn jemand helfen könnte :).

Answer 1

Hallo,

Sei $A\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ von endlicher Ordnung $n$. Dann hat $A$ Determinate 1 und das charakteristische Polynom die Form $x^2-sx+1$ wobei $s$ sie Spur der Matrix ist. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton muss somit $$A^2-sA+\mathbb{I}=0$$ gelten. Dabei ist $\mathbb{I}$ die Identitätsmatrix.

Dann benutzen wir noch, dass Eigenwerte von  Matrizen der Ordnung $n$ immer $n$-te Einheitswurzeln sein müssen. Wenn dir das nicht klar ist betrachte mal was bei $A^n(v)$ für einen entsprechenden Eigenvektor $v\neq0$ herauskommt. $s$ ist dann immer eine Summe aus 2 Eigenwerten (müssen nicht verschieden sein!). (Warum?)

Gleichzeitig muss $s$ aber auch eine ganze Zahl sein. Daher kommen für die Spur $s$ von $A$ nur wenige Werte infrage (Warum und welche?). Nun muss man eine Fallunterscheidung über diese Möglichkeiten für $s$ machen. Einen Fall zeige ich dir mal:

Fall 1: $s=1$
Dann ist also $A^2-A+\mathbb I=0$ damit ist aber auch $A^3+\mathbb I=(A+\mathbb I)(A^2-A+\mathbb I)=0$. Demnach also $A^3=-\mathbb I$ und schließlich $A^6=\mathbb I$. Damit ist die Ordnung von $A$ ein Teiler von 6 und damit in $B$. (Wenn man etwas mehr arbeitet sieht man sogar, dass die Ordnung genau 6 ist.)

Die anderen Fälle sind ähnlich, ich beantworte auch gerne weitere Fragen.

LG Dojima

Comments

Danke für deine Antwort :)

Könntest du vielleicht auch zeigen wie die anderen Fälle sind?

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Was sind denn die anderen Fälle?

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Seh ich leider nicht :/

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Also wenn $s$ die Spur der Matrix ist, dann wissen wir folgende Sachen;

(1) $s$ ist eine ganze Zahl

(2) $s$ ist die Summe von 2 Eigenwerten von $A$

(3) Alle Eigenwerte von $A$ sind Einheitswurzeln, d.h. wenn $ßlambda$ Eigenwert von $A$ ist, dann $\lambda^n=1$ für ein $n\in\mathbb{N}$ (Das geht nur weil die Ordnung von $A$ endlich ist). Damit gilt also insbesondere $|\lambda|=1$.

D.h. $s=\lambda_1+\lambda_2$ für $\lambda_1,\lambda_2$ Eigenwerte von $A$. Was gilt dann für $|s|$ und welche ganze Zahlen erfüllen diese Bedingung?

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Hmm ich komme jetzt auf 0 und 2?

Ich dacht mir -1 + 1 = 0 und -1 + (-1) = -2 und wegen |-2| = 2

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Das stimmt nicht ganz. Allgemein wissen wir ja nicht welche Ordnung $A$ hat und damit auch nicht die wievielte Einheitswurzel die Eigenwerte sein müssen. Und es zählen hier auch komplexe Wurzeln. Allgemein wissen wir nur $|s|\leq2$ (nach der Dreiecksungleichung). D.h. es kommen die Zahlen -2,-1,0,1,2 für $s$ infrage.

Den Fall $s=1$ habe ich ja schon gezeigt. Der Fall $s=-1$ ist fast identisch aber man multipliziert mit $(A-\mathbb I)$. Es kommt Odnung 3 raus.

Für den Fall $s=2$: $A^2-2A+\mathbb I=(A-\mathbb I)^2=0$, also $A=\mathbb I$ und hat damit Ordnung 1.
Der Fall $s=-2$ ist wieder fast identisch und es kommt Ordnung 2 raus.

Im Fall $s=0$ steht eigentlich alles da. Es kommt Ordnung 4 raus.

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Okay dankeschön :)

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Warum kann man denn aus $(A-\mathbb I)^2=0$ schließen, dass $A=\mathbb I$ ist?

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$(A-\mathbb I)^2=0$ gdw $A-\mathbb I=0$ gdw $A=\mathbb I$

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$A = \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$

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ja da war ich kurz bei Polynomen. Ich schau nochmal kurz ob ich den Fehler noch irgendwo gemacht habe und wie man ihn behebt.

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Ok, mein Fehler betrifft nur die Fälle $s=-2,\,2$. Zufälligerweise stimmen die Ergebnisse trotzdem.

Man kann benutzen, dass das Minimalpolynom einer Matrix jedes andere Polynom teilt, das diese Matrix als Nullstelle hat.
Damit teilt das Minimalpolynom einer Matrix $A$ insbesondere den ggT zweier Polynome mit $A$ als Nullstelle. Der ggt von $x^2-2x+2$ und $x^n-1$ ist $x-1$. Es folgt also $A-\mathbb I=0$ und damit Ordnung $A$=1.

Für $s=-2$ funktioniert es wieder ähnlich.