Beweis Gruppenhomomorphismus: ord(g) ≥ ord(f(g))

Question

hänge gerade an einer Aufgabe, bei der ich die Lösung kenne, aber nicht zu 100% nachvollziehen kann.

Aufgabe:

Es sei f: (G, o) ---> (H, o) ein Gruppenhomomorphismus.

Zu beweisen ist, dass für ein g ∈ G immer ord_G(g) ≥ ord_H(f(g)) gilt.

Der Beweis läuft folgendermaßen:

Sei g ∈ G und n := ord(g). Dann gilt:

e_H = f(e_G) = f(gⁿ) = f(g)ⁿ

Hieraus soll sich nun ablesen lassen (und ich weiß eben nicht wieso), dass zum einen ord_H(f(g) ein Teiler von n=ord_G(g) ist und damit n = ord_G(g) ≥ ord_H(f(g)).

Die Gleichungskette ist mir klar, die kann ich nachvollziehen. Allerdings verstehe ich nicht, wieso die Interpretation folgt? Ich erkenne da vielmehr, dass ord_G(g) = ord_H(f(g)), was aber offenbar falsch ist.

und beste Grüße!

Answer 1

Sei g ∈ G und n := ord(g). Dann gilt:

ausführlicher: n ist kleinste n∈ℕ mit der Eigenschaft  g^n = e_G

Bei jedem Hom. von G nach H   gilt ja  e_H = f(e_G)

und dann weiter (wie dir ja klar ist.)

 f(gⁿ) = (f(g))^n

D.h.:  Das Element f(g) ist in der Gruppe H ein Element,

das hoch n genommen e_H ergibt.

Es ist nur nicht sicher, dass n das kleinste mit dieser Eigenschaft

ist, denn das kleinste ist ja die Ordnung von f(g).

(Deshalb also n ≥  ≥ ordH(f(g)).

Es könnte also ein kleineres (sagen wir mal m) geben,

für das schon ( f(g) )^m = e_H gilt.

Dann wäre aber natürlich auch  ( f(g) )^m   o    ( f(g) )^m = e_H  o e_H =  e_H

Und das nicht nur für 2 Faktoren, sondern auch für mehrere; deshalb

sind also alle Potenzen von  ( f(g) )^m

(und zwar nur diese; denn m ist ja der kleinste Exponent, bei dem das

klappt.)      gleich e^H.  Und eine dieser Potenzen muss dann eben ( f(g) )^n sein,

     ( ( f(g) )^m )^k   =     ( f(g) )^n   ==>  m*k = n,

also m ist Teiler von n.