Gegebene Abschätzung anhand einer Funktion zu zeigen

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet wie folgt: Es sei f : ℝ → ℝ mit x → e^{-x^2}. Zeigen Sie, dass für alle x,y ∈ ℝ die Abschätzung

                                              |f(x) - f(y) | ≤ \( \sqrt{\frac{2}{e}} \) · |x - y|

gilt.

Problem/Ansatz:

Der Mittelsatz lautet ja: \( \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \) = f '(z) und eingesetzt erhalte ich:

f '(z) = \( \frac{e^{-y^2} - e^{-x^2}}{y - x} \)

Ab hier bin ich jedoch komplett aufgeschmissen und wäre für jede Hilfe sehr dankbar :)

Mit freundlichen Grüßen

Lionel

Answer 1

f '(z) = \( \frac{e^{-y^2} - e^{-x^2}}{y - x} \)

oder auch

f ' (z) = (f(x)-f(y)) / (x-y)

Das gilt dann auch für die Beträge

|f ' (z)| = |(f(x)-f(y))| / |(x-y)|

Es ist f ' (z)=    \( 2ze^{-z^2}  \)

Und für x≠y hast du also

|(f(x)-f(y))|    =    \( 2ze^{-z^2}  \) |(x-y)|

Und \( 2ze^{-z^2}  \) besitzt auf ℝ das absolute Maximum \( \sqrt{\frac{2}{e}} \).

Also gilt immer : |f(x) - f(y) | ≤ \( \sqrt{\frac{2}{e}} \) · |x - y|

Comments

Vielen Dank. hat mir sehr weiter geholfen :)

Ich habe jedoch noch nicht ganz verstanden, wie sich das absolute Maximum bestimmen lässt.

---

Ableitung bilden und gleich 0 setzen.

(2-4z^2)*e^(-z^2) = 0

mit den Lösungen z=±√(2) / 2 .

Und die Grenzwerte für z gegen ±∞ sind beide 0.

Und von -∞ bis -√(2) / 2 ist die  Funktion fallend,

dann steigend bis z=√(2) / 2  dann wieder fallend.

Also ist bei z=√(2) / 2 das abs. Max mit Wert \( \sqrt{\frac{2}{e}} \)

---

Ach so, ok. Verstanden, danke :)