Jordan Basis einer nilpotenten 4x4 Matrix bestimmen

Question

Hallo liebe Mathelounge Community, ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

$\begin{pmatrix} -3 & 2 & -3 & 2 \\ -4 & 2 & -4 & 3 \\ -5 & 2 & -5 & 4 \\ -8 & 4 & -8 &6 \end{pmatrix}$

Geben Sie die Jordan Basis an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass A nilpotent ist, daher ist ihre det. sowie chpol null. Wenn ich den Kern(A-0*En) bestimme, bekomme ich folgende Eigenvektoren: <(-1,0,1,0), (1,1/2,0,1)>

Nun weiß ich nicht wie ich die anderen Vektoren bestimmen soll um eine JNF zu bilden.. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Ein Versuch

Zusammenfassung

https://www.geogebra.org/m/cbrraju7

$\small EV \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&0&1&0\\1&\frac{1}{2}&0&1\\\end{array}\right)$

Nachdem die nilpotente Matrix auf die Einheitsvektoren als Kandidaten der HVs führt, hab ich versucht linearunabhängige Kandidaten zu finden, z.B.

$\small HVKandidaten \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&-1&0\\2&1&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&1\\\end{array}\right)$

Kandidat(3) liegt im Kern und scheidet aus ===>

(A - 0E) HVKandidaten

$\small HV1 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&-1&0&1\\-1&-2&0&2\\0&-2&0&2\\\end{array}\right)$

Die Jordan-Basis hab ich dann kombiniert aus

HV1(1), HVKandidaten(1), HV1(4), HVKandidaten(4)

===>

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\0&2&1&-1\\-1&0&2&0\\0&0&2&1\\\end{array}\right)$

mit

$\small T^{-1}\;D\;T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right)$

GeoGebra findet

JordanDiagonalization(A)

$\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}2&0&0&0\\0&3&2&-2\\-2&0&4&0\\0&-2&4&2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right) \right\}$

Comments

man kann natürlich auch mit den Einheitsvektoren als Kandidaten weiterrechnen und kommt dann auf

Kandidaten(1)

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-3&1&2&0\\-4&0&3&0\\-5&0&4&0\\-8&0&6&1\\\end{array}\right)$

oder

Kandidaten(2)

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}2&0&2&0\\2&1&3&0\\2&0&4&0\\4&0&6&1\\\end{array}\right)$