Totales Differential, Approximation, Ackerbau

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x1 Einheiten Naturdünger und mit x2 Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

\( E=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=15 x_{1}^{0.75} x_{2}^{0.11} \)

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 14 Einheiten Naturdünger und 15 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 4.9% weniger Naturdünger und 4.2% mehr Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.
b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Problem/Ansatz:

Ich bitte um Hilfe dieser Aufgabe, inklusive Rechenweg. Mir ist aus anderen Aufgaben nicht ersichtlich, wie ich hier zu dem korrekten Ergebnis komme. Vielen Dank!

Answer 1

f(x, y) = 15·x^0.75·y^0.11

f'(x, y) = [11.25·y^0.11/x^0.25, 1.65·x^0.75/y^0.89]

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

f'(14, 15)·[- 14·0.049, 15·0.042] = -4.698595407

b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

f(14·(1 - 0.049), 15·(1 + 0.042)) - f(14, 15) = -4.769035744