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Seien \( \left(X, \mathrm{~d}_{X}\right),\left(Y, \mathrm{~d}_{Y}\right) \) metrische Räume und \( f: X \rightarrow Y \) eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Funktion \( f \) ist stetig.
(ii) Für jede Teilmenge \( A \subseteq X \) gilt \( f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)} \).
