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(Seien \( \left(X, \mathrm{~d}_{X}\right),\left(Y, \mathrm{~d}_{Y}\right) \) metrische Räume und \( f: X \rightarrow Y \) eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Funktion \( f \) ist stetig.
(ii) Für jede Teilmenge \( A \subseteq X \) gilt \( f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)} \).

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe?

von

1 Antwort

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Sei \( f \) stetig und \( y \in f(\bar{A}) \). Es existiert also ein \( x \in \bar{A} \operatorname{mit} f(x)=y \). Gilt \( x \in A \backslash \partial A \) so natürlich auch
\( f(x) \in f[A] \Longrightarrow y \in f[A] \subseteq \overline{f[A]} \)
Ist hingegen \( x \in \partial A \) so gibt es irgendeine Folge \( \left(x_{n}\right) \subseteq A \) mit \( x_{n} \rightarrow x \) und aufgrund der Stetigkeit von \( f \) konvergiert die Folge \( \left(f\left(x_{n}\right)\right) \subseteq \overline{f[A]} \) zu \( f(x)=y \). Da \( \overline{f[A]} \) abgeschlossen ist muss aber der Grenzwert in der Menge enthalten sein, also \( y=f(x) \in \overline{f[A]} \).

Für die andere Richtung kann man z.B. die äquivelente Definition der Stetigkeit benutzen, nämlich dass das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sein muss.

Also nehmen wir an, für alle \( A \subseteq X \) gilt \( f[\bar{A}] \subseteq \overline{f[A]} \). Sei nun \( G \subseteq Y \) eine beliebig abgeschossene Menge. Wir wollen zeigen, dass nun auch \( B=f^{-1}[G] \subseteq X \) abgeschlossen ist. Es ergibt sich

\(\begin{aligned} \mathrm{f}[\overline{\mathrm{B}}] \subseteq \overline{\mathrm{f}[\mathrm{B}]}=\overline{\mathrm{f}\left[\mathrm{f}^{-1}[\mathrm{G}]\right]} \subseteq \overline{\mathrm{G}}=\mathrm{G} \Longrightarrow \overline{\mathrm{B}} \subseteq \mathrm{f}^{-1}[\mathrm{G}]=\mathrm{B}\end{aligned}. \)

von 3,5 k

Der zweite Teil ist nicht schlüssig. Du gehst von Nicht-Stetigkeit im Punkt x aus, erklärst aber nicht, wie das mit der Menge A zusammen hängt.

Ich verstehe den Kommentar nicht ganz. Da \(x_n \) gegen \(x\) konvergiert, ist aufgrund der Abgeschlossenheit \(x\in \overline{A}\), ist das gemeint? Ah ich sehe gerade, dass ich ganz vergessen habe, \(A\) zu definieren.

Danke für den Hinweis, das habe ich wohl beim Aufschreiben vergessen.

ich verstehe nicht ganz, wie man auf f(x) nicht in der Hülle von f(A) kommt.

garantiert die Nichtstetigkeit an der Stelle x, dass nicht eventuell eine Teilfolge von f(x_n) gegen f(x) konvergiert, i.e. f(x) in f(A)?

Wenn man eine geeignete Teilfolge betrachtet geht es auf jeden Fall. Siehe https://www.mathelounge.de/940283/aquivalenz-von-stetigkeit-und-abschluss-metrischen-raumen

Ja, mein letztes Argument war eventuell nicht ganz schlüssig. Ich habe kurz nachgedacht und eines gefunden, was eventuell ein bisschen kürzer ist.

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