Analysis mit zwei Funktionen in der Ebene

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f(x)=\frac{4 x-4}{x^{3}} \).

f) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der Graph von \( \mathrm{f} \), die \( x \)-Achse und die Gerade \( x=a \) im ersten Quadranten ein Flächenstück A mit dem Inhalt 0,5 einschließen.

g) Weiter sei die Funktion \( \mathrm{p}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \) gegeben. Die Graphen von \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{p} \) schneiden sich an der Stelle \( \mathrm{x}_{\mathrm{s}} \). Berechnen Sie \( \mathrm{x}_{\mathrm{s}} \). An welcher rechts von \( \mathrm{x}_{\mathrm{s}} \) gelegenen Stelle \( \mathrm{x} \) nimmt die Differenz der Funktionswerte von f und p einen Maximalwert an?

h) Welche Ursprungsgerade \( h \) berührt den Graphen von \( f \) im ersten Quadranten als Tangente?

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bei f), g) und h) helfen?

Answer 1

Zeiche Dir die Funktionen auf.

f)

a = 2

a = 2/3 (aber dann wäre es nicht im ersten Quadranten)

g)

bei x = 2

Answer 2

f)

∫ (1 bis a) (f(x)) dx = 0.5 → a = 2

Comments

g)

d(x) = f(x) - 1/x^2 = (3·x - 4)/x^3 = 0 → xs = 4/3

d'(x) = 6·(2 - x)/x^4 = 0 --> x = 2

h)

(f(x) - 0)/(x - 0) = f'(x) --> x = 4/3

h(x) = f'(4/3) * (x - 4/3) + f(4/3) = 27/64·x