Wie groß ist die Phikonstante bei der Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Hallo, ich möchte einmal Frageb wie groß die Gauß Phikonstante ist, da sie in meinem Buch nicht erklärt wird.

Damit meine ich aus der Formel für die Normalverteilung, wenn Sigma größer 3 ist.

phi * (k - mü + 0,5)/Sigma

Als beispiel meine Aufgabe lautet die Nährerungswahrscheinlichkeit zu berechnen zu p (53 < X < 70)

150 * 0,4 * (1 - 0,4) = 36
Die Bedingung 36 > 9 ist erfüllt.
b)
µ = 0,4 * 150 = 60
oSigma (x) = √(0,4*150*(1-0,4)) = 6
und jetzt das hier

Phi((70-60+0,5)/6) - Phi((53-60+0,5)/6) = ???

Answer 1

Das ist keine Phi Konstante sondern eine Phi Funktion. Sie beschreibt die Standardnormalverteilung.

Answer 2

Die Dichtefunktion der Normalverteilung für μ = 0 und σ^2 = 1 lautet:

ρ(x) = \( \frac{1}{\sqrt{2pi}} e^{-0.5x^2} für -\infty < x < \infty \)

Um die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsgrösse X im Intervall [-∞,x] zu berechnen, müsste man die Dichtefunktion integrieren:

ψ(x) = \( \int\limits_{-∞}^{x} ρ(t) dt \)

Da für ρ(x) keine Stammfunktion zur Verfügung steht, hat man die Werte ψ(x) einer Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) hinterlegt. Ist in einer Aufgabe die Normalverteilung mit μ und σ gegeben, führt man die Normierung z = \( \frac{x-μ}{σ} \) durch. In Deinem Fall also z1 = \( \frac{53-μ}{σ} \) und z2 = \( \frac{70-μ}{σ} \) und liest dann die beiden Werte ψ(z1), ψ(z2) aus einer Tabelle.

Sollte es bei der Aufgabe wirklich um eine Abschätzung ohne Verwendung einer Tabelle gehen, kann man mit folgender Formel arbeiten

ψ(x) =1/2(1+ erf ( \( \frac{x}{\sqrt{2}} \) )  )

erf() ist die sogenannte Fehlerfunktion https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion