Zeigen Sie: Ist A ∈ Mn×n(K) eine strikte obere Dreiecksmatrix, so ist A^n = 0.

Question

Aufgabe:

Eine Matrix A = (a_ij ) ∈ M_n×n(K) heißt strikte obere Dreiecksmatrix, wenn a_ij = 0 gilt für alle i ≥ j.
Zeigen Sie:

Ist A ∈ M_n×n(K) eine strikte obere Dreiecksmatrix, so ist Aⁿ = 0.

Problem/Ansatz:

Ich würde das vielleicht über Induktion machen. Habe für den Induktionsanfang 2x2 Dreiecksmatrix benutzt.
Jetzt meine Gedanken zum Induktionsschritt:

Aⁿ = 0 gilt also muss Aⁿ⁺¹ gelten
Aⁿ⁺¹ = Aⁿ · Aⁿ
An ist aber nach Induktionsvoraussetzung 0, also:
0 · 0 = 0
Aber ich denke nicht, dass das so einfach gehen kann.

Jemand Ideen, wie man das sonst zeigt?
Wäre für Hilfe dankbar.